mojca in matija lokar derive pri pouku matematike v letniku kazalo programi za simbolno ra~unanje derive delovna povr ina za~etek dela izbira ukazov konec dela vnos izrazov author napaka pri vnosu popravljanje f f vaje poenostavljanje simplify brisanje izrazov vaje ra~unanje s celimi tevili vaje deli izrazov ozna~evanje delov izrazov poenostavitve vaje ra~unanje s simboli vaje expand razvoj dela izraza factor factor in expand kot ukaza vaje ulomki ra~unanje z ulomki vaje razcep na pra tevila vaje realna tevila decimalni zapis pribli`ek vaje vrednost izrazov manage substitute vaje absolutna vrednost vaje re evanje ena~b vaje risanje brisanje grafov funkcij pove~ave pomanj ave in koordinatni sistem od~itavanje vrednosti grafi~no re evanje ena~b re evanje sistemov linearnih ena~b direktna metoda solve grafi~na metoda vaje delo z datotekami kaj so programi za simbolno ra~unanje ra~unala priprave ki omogo~ajo da brez zapletenih postopkov brskanja po tablicah ali zamudnega ra~unanja pe ugotovimo koliko je sin so `e tako prisotni v vsakdanjem `ivljenju da si matematike predvsem njene uporabe brez njih prakti~no ne znamo ve~ predstavljati simbolno ra~unanje je kot nam namiguje `e ime samo ra~unanje s simboli tako kot z ra~unalom zmno`imo dve tevili s simbolnim ra~unalom zmno`imo dva izraza npr a b ab c izra~unamo razcep tevila na prafaktorje dolo~imo odvod funkcije sin cos ln x nari emo graf funkcije re imo ena~bo poi ~emo nedolo~eni integral funkcije seveda navkljub njihovim zmo`nostim to ne pomeni da lahko pozabimo na u~enje matematike e tako zmogljiv program bo v rokah nekoga ki ga ne bo znal uporabljati povsem neuporabno orodje prav tako je tudi z ra~unali e bi morali za vsak ra~un denimo posegati po njem bi hitro ugotovili da ne pridemo nikamor ra~unalo nam tudi ni~ ne pomaga dokler ne vemo kaj z njim sploh po~eti poglejmo zelo enostaven primer kupili bi radi kg jabolk ta stanejo po tolarjev za kilogram koliko denarja potrebujemo pri re evanju naloge si bomo pomagali z ra~unalom a e vedno bomo potrebovali matemati~no znanje tako bomo morali kar sami ugotoviti da do re itve pridemo tako da zmno`imo in pri golem ra~unanju res uporabimo ra~unalo in ugotovimo da je to kaj pa ~e smo se zatipkali in namesto pri ceni vtipkali ra~unalo bo slepo izpolnilo ukaz in nara~unalo spet potrebujemo dolo~eno znanje da vemo da je tukaj nekaj narobe skratka razli~ni pripomo~ki so sicer koristna stvar vendar jih moramo znati uporabljati to znanje ne pomeni le poznavanja gole tehnike pritiskanja na gumbe oz izbiranja ukazov ampak vedenje na kak en na~in lahko pripomo~ek uporabljamo kako mu pripraviti podatke kaj narediti z rezultati kot bomo spoznali na naslednjih straneh nam programi za simbolno ra~unanje lahko mnogokrat pomagajo e ve~ zaradi njihovih zmo`nosti bomo ve~krat imeli mo`nost da bomo odkrivali matematiko torej samostojno pri li do dolo~enih matemati~nih zakonitosti uporabljali jih bomo tudi za pomo~nika ki bo preveril rezultate do katerih smo pri li sem in tja pa bomo program uporabili tudi za to da bo namesto nas opravil dolo~ene zamudne in dolgo~asne rutinske postopke ki jih `e dobro obvladamo na tejmo nakaj tovrstnih programov macsyma axiom maple mathematica mathcad derive in drugi ponudba je torej dokaj pestra ve~ina teh programov je namenjena raziskovalnemu in razvojnemu delu ~eprav jih seveda lahko uporabljamo tudi pri pouku e nekaj ~asa je tudi v slovenskih olah program za simbolno ra~unanje derive veliko strokovnjakov ocenjuje da je med vsemi programi ki znajo simbolno ra~unati verjetno najprimernej i za uporabo v srednji oli derive derive ima dolgo zgodovino v sedanji obliki se je pojavil konec ih jeseni je podjetje soft warehouse na tr`i ~e poslalo novo razli~ico programa derive in sicer pri sodobnih programih ki obi~ajno zahtevajo ve~ m zlogov prostora na trdem disku in pri katerih delo ni mo`no ~e nimamo vsaj ra~unalnika s procesorjem in m pomnilnika derive deluje kar malo sme no saj ga e vedno lahko poganjamo na zapra enem ra~unalniku tipa xt pri tem pa majhnost programa e ne pomeni da ni zmogljiv derive e vedno ostaja med mo~nej imi programi za simbolno ra~unanje in se po svojih matemati~nih zmogljivostih lahko mirno kosa z mathematico maplom macsymo in podobnimi program derive je na voljo v dveh glavnih razli~icah prva deluje pod operacijskim sistemom dos in jo bomo opisovali v tem gradivu druga pa je namenjena okolju windows seveda pa majhnost programa prinese za sabo dolo~ene posledice tako uporabni ki vmesnik za dana nje razmere deluje zastarelo prav tako neprijazno je delo z datotekami shranjevanje nalaganje izpis na tiskalnik vendar je to pa~ cena ki jo e kako odtehtajo druge odlike programa derive je poleg razli~ice za pc ra~unalnike na voljo tudi vgrajen v ve~ ra~unal podjetja hewlett packard hp lx lx in lx pred par leti se je derive v malce spremenjeni obliki pojavil e na novem ra~unalu podjetja texas instruments ti ki je vsekakor zelo zanimivo ra~unalo za uporabo v srednji oli delovna povr ina za~etek dela derive deluje v okolju dos za`enemo ga z ukazom derive oziroma uporabimo postopek ki nam ga pojasni u~itelj po zagonu programa zagledamo osnovni zaslon na havajih torej ne rastejo le palme ampak pi ejo tudi zanimive programe sam program nenehoma izpopolnjujejo zato ni ni~ ~udnega ~e program nosi tevilko razli~ice ve~jo od ki jo opisujemo v teh gradivih vendar gre obi~ajno za manj e spremembe dodane so nekatere nove pomo`ne datoteke in odpravljene posamezne napake ve~ina stvari opisanih na teh straneh deluje ve~ ali manj nespremenjeno `e od razli~ice dalje zaslon nas v podobni obliki spremlja ves ~as dela s programom zato si ga oglejmo podrobneje ve~ino zavzema osrednji del ki je trenutno prekrit s podatki o proizvajalcu tu bomo zapisovali vse na e ra~une pod dvojno ~rto so na tete izbire ki so na voljo pod na tetimi izbirami je vrstica v katero program izpisuje razli~na obvestila in navodila kaj naj naredimo ko program nalo`imo tam pi e enter option program torej ~aka da si bomo izbrali eno od na tetih izbir sporo~ila so precej razli~na kot obi~ajno nam bo tudi tu koristilo znanje angle kega jezika v zadnji vrstici zaslona so razli~ni podatki o stanju v katerem je trenutno program tam se zapisuje porabljeni prostor na~in dela izbira ukazov pod dvojno ~rto so vedno na tete izbire ki so nam trenutno na voljo njihov seznam se spreminja glede na prej uporabljene izbire vsak seznam je ozna~en z imenom zapisanim z velikimi ~rkami na za~etku seznama tako je osnovni seznam ukazov desno od besede command ukaze izbiramo tako da jih s pritiskom na preslednico osvetlimo in nato pritsnemo na tipko enter e torej `elimo uporabiti izbiro calculus glavnega izbora toliko ~asa pritiskamo na preslednico dokler ni le ta osvetljena izbiro potrdimo s pritiskom na tipko enter izbiranje je kro`no zato pritisk na preslednico ko je osvetljena zadnja izbira approx glavnega izbora osvetli prvo izbiro author ta na~in izbiranja nas bo verjetno nekoliko motil ker ve~ina novej ih programov za premikanje med izbirami uporablja pu ~ice tu pa si z njimi ne moremo pomagati opazimo lahko tudi da ima vsaka izbira eno od ~rk zapisano z veliko tiskanko obi~ajno je to kar prva ~rka izbire a v author q v quit ni pa nujno l v solve x v approx to ~rko uporabimo ~e `elimo izbrati to izbiro pritisk na x pomeni da `elimo izbrati izbiro approx in nam nadomesti enega ali ve~ pritiskov na preslednico in pritisk na tipko enter ko si izberemo eno od mo`nih izbir se le ta izvede ve~ina tistih v glavnem izboru zahteva potem e dodatne podatke pri nekaterih moramo vtipkati podatek pri drugih se znajdemo v novem sistemu izbir tako moramo po izbiri author vnesti nek izraz tako da ga natipkamo izbira options nam na zaslon izpi e nov seznam izbir med njimi izbiramo na znan na~in e si tu izberemo izbiro display zagledamo nekoliko druga~en sistem izbir kot vidimo ima ta izbira pet podizbir ki pa imajo mo`ne nastavitve `e izpisane to so mode reso text set in adapter pri vsaki je ena od nastavitev v oklepajih pritisk na preslednico nam izmeni~no osvetljuje le nastavitve prve izbire e pritisnemo na tipko enter znova pridemo na glavni izbor za prehod na ostale podizbire slu`i tipka tab izbira ki je bila v prej nji podizbiri osvetljena je sedaj zapisana v oklepajih in s tem ozna~ena kot veljavna ko so vse nastavitve na zaslonu prave pritisnemo na tipko enter povzemimo vse skupaj podatke v program vna amo tako da vtipkamo podatek s pritiskom na ustrezno ~rko izberemo eno od na tetih izbir s preslednico osvetlimo `eljeno izbiro in pritisnemo na tipko enter s tab izberemo ustrezno podizbiro in tam osvetlimo eno od mo`nosti e pomotoma zaidemo v napa~ni sistem ukazov se na prej nji nivo vrnemo s pritiskom na tipko esc konec dela delo s programom zaklju~imo z izbiro quit v glavnem izboru e imamo na delovni povr ini izraze nas program na to opozori z vpra anjem abandon expressions y n obi~ajno pritisnemo na y in zapustimo program e pa `elimo izraze shraniti na datoteko pritisnemo na n jih shranimo in nato znova izberemo quit vnos izrazov author ve~ino izrazov posredujemo programu tako da jih vtipkamo osnovni pripomo~ek pri tem je izbira author ta ukaz izpi e author expression in ~aka da vnesemo izraz izraz natipkamo e se pri tipkanju zmotimo lahko zadnji izpisani znak zbri emo s tipko backspace vnos zaklju~imo s pritiskom na tipko enter ko v vrstici pi e tisto kar `elimo pritisnemo na tipko enter in s tem zapi emo izraz na delovno povr ino e izraz ni pravilen program zapiska in se postavi na mesto v izrazu kjer je opazil napako zadnji izraz ki smo ga vnesli je osvetljen in na levi strani opremljen z zaporedno tevilko prav tako v levem spodnjem kotu pi e user kot oznaka da smo osvetljeni izraz vnesli sami in ni rezultat kak nega ra~una program vne ene izraze le morda preoblikuje in jih ne ovrednoti vsak izraz dobi tudi zaporedno tevilko izraza s temi tevilkami se kasneje sklicujemo na izraze in jih tudi uporabljamo pri novih tako z ukazom author dobimo nov izraz ki je vsota izrazov in pri sestavljanju izrazov so nam na voljo vse osnovne matemati~ne operacije se tevanje od tevanje mno`enje in deljenje da je vse skupaj bolj podobno obi~ajnemu pisanju lahko znak za mno`enje tudi spustimo in ga nadomestimo s presledkom tudi ~e ga napi emo ga program na delovni povr ini ne zapi e ampak nadomesti s piko tako sta in enaka izraza pri ra~unanju derive upo teva prioriteto operacij tako se mno`enje izvede pred se tevanjem oziroma od tevanjem enakovredne operacije pa se izvajajo od leve proti desni seveda lahko vrstni red izvajanja operacij predpi emo z uporabo oklepajev derive pri tem uporablja le okrogle oklepaje oglati in zaviti pa so rezervirani v druge namene napaka pri vnosu popravljanje med vnosom izraz lahko popravljamo prav tako moramo izraz popraviti ~e je sinatkti~no nepravilen in ga program no~e sprejeti e se `elimo v izrazu premakniti v levo pritisnemo ¬ ali pa ctrl s v desno gremo z ® oziroma ctrl d znak levo pobri emo s tipko backspace ¬ ¾ znak na mestu kazalca pa s tipko delete oziroma ctrl g znaki praviloma prekrijejo obstoje~e e pa `elimo da se vrivajo med obstoje~e uporabimo tipko insert oziroma ctrl v v sporo~ilni vrstici zagledamo napis ins ista tipka na~in vrivanja tudi izklopi levo ¬ ctrl s desno ® ctrl d bri i levo ¬ ¾ backspace bri i delete ctrl g vrivaj insert ctrl v na~in popravljanja se je malce spremenil med razvojem programa tako npr premiki s pu ~icami delujejo le v novej ih programih ~e so ti pravilno nastavljeni v spodnji vrstici pi e lin f f ko smo enkrat izraz vnesli ga ne moremo ve~ popraviti e bi ga `eleli spremeniti ga moramo vnesti ponovno seveda ustrezno popravljenega kadar med sestavljanjem izraza pritisnemo tipko f v vnosno polje vstavimo zadnji vne eni izraz dejansko se vstavi osvetljeni izraz oziroma del izraza to pa je praviloma zadnji vne eni izraz e uporabimo tipko f naredimo enako le da preneseni izraz opremimo e z oklepaji vaje vnesi izraz vnesi izraz vnesi izraz ki je produkt prej njih dveh izrazov uporabi slicevanje na izraze kaj opazi vnesi izraz po pisku programa zbri i odve~ni znak za deljenje vnesi izraz v naslednjem izrazu vsa od tevanja nadomesti s se tevanji zadnji izraz pomno`i z uporabi prenos izraza v vnosno polje drugi izraz pomno`i s kvadratom tretjega od estega izraza od tej poenostavljanje simplify dejali smo `e da derive vne ene izraze le oblikuje in jih ne ovrednoti e `elimo izvedeti koliko je vrednost izraza ki smo ga vnesli npr moramo izraz poenostaviti pri dosedanjem na~inu uporabe programa je poenostavitev kar izra~unan izraz izraze poenostavimo z izbiro simplify ko jo izberemo nas program vpra a po izrazu ki ga poenostavljamo ker je to obi~ajno kar zadnji vne eni izraz je njegova tevilka `e vne ena znak opozarja da gre za oznako izraza in ne za ustrezno tevilo e `elimo vnesemo drugo tevilko izraza ali drug izraz in pritisnemo na tipko enter potem derive izraz poenostavi in izpi e rezultat ki je nov izraz in ima svojo tevilko na sliki v levem spodnjem kotu iz oznake simp vidimo da smo izraz tevilka dobili tako da smo poenostavili peti izraz ve~krat prvotnega izraza ne potrebujemo in bi radi poznali le poenostavljeni izraz takrat lahko pri vnosu z ukazom author na koncu namesto enter pritisnemo na ctrl enter takrat derive izraz takoj poenostavi in na delovno povr ino zapi e le poenostavljenega e pri vnosu izraza na koncu uporabimo ena~aj derive zapi e izraz in ga tudi poenostavi brisanje izrazov ve~krat izrazov ki so na delovni povr ini ne potrebujemo ve~ takrat jih lahko tudi pobri emo vseh hkrati se najla`e znebimo tako da zapustimo program posamezne izraze lahko zbri emo z izbiro remove ko jo izberemo zagledamo remove start end med poljema start in end preklapljamo s tipko tab ukaz pobri e vse izraze od t start do t end vklju~no e slu~ajno pobri emo napa~ne izraze jih lahko prikli~emo nazaj ~e takoj uporabimo izbiro unremove vaje zbri i prvih pet izrazov povrni pobrisane izraze zbri i izraze od tevile do kaj se zgodi ~e je v polju end manj a tevilka kot v polju start kako s polja end ponovno pridemo v polje start zbri i vse preostale izraze ra~unanje s celimi tevili ogledali smo si `e kako vna amo izraze sedaj poglejmo podrobneje kako derive ra~una s celimi tevili takoj povejmo da v nasprotju z ra~unali derive zna ra~unati s poljubno velikimi tevili tako mu lahko mirno naro~imo da izra~una produkt prvih naravnih tevil pri tem bo zapisal vse tevke ki to tevilo sestavljajo seveda lahko pri~akujemo da bodo pri zelo velikih tevilih operacije nekoliko po~asnej e e pa bi le preve~ pretiravali se lahko zgodi da bi ra~unalniku zmanjkalo pomnilnika vendar je to tako izjemna situacija da se pri delu v oli skoraj zagotovo ne bo zgodila pri ve~ izrazih na sliki vidimo da so predolga da bi bila vsa vidna na zaslonu tako je zadnji izraz ki je poenostavitev izraza ki predstavlja produkt prvih naravnih tevil tevilo ki je preveliko da bi vse njegove tevke le na zaslon e si `elimo ogledati manjkajo~i del si pomagamo s ctrl ® oz ctrl¬ ta nas po osvetljenem izrazu premakne v desno oz levo derive pozna tudi potence tako pomeni e `elimo torej vnesti potenco uporabimo znak upo tevati moramo da ima potenciranje prednost pred ostalimi operacijami tako pomeni izraz in ne zadnji izraz bi morali napisati derive izraze s potencami zapi e dvignjeno kot smo navajeni v matematiki upo tevati je tudi potrebno da se potenciranje izvaja druga~e kot mno`enje tako pomeni da je potenciran z na potenco tako smo izraz lahko vnesli kot izraz pa kot s pomo~jo programa derive lahko re imo zanimive naloge pri katerih bi z uporabo obi~ajnih ra~unal imeli te`ave denimo tole e opazujemo zvezdno nebo v lepi jasni no~i nam e na misel ne pride da utegnejo mnoge opazovane zvezde biti ''mrtve'' `e desetletja poleg sonca je sirij sirius najsvetlej a zvezda oddaljena je svetlobnih let svetlobno leto je razdalja ki jo svetloba prepotuje v enem letu koliko je to kilometrov ra~unajmo v minuti svetloba prepotuje km v eni uri krat toliko author simplify v enem dnevu bo to author simplify v enem letu author simplify in v devetih letih author simplify sirij je torej oddaljen km vaje vnesi naslednje izraze poenostavi zgoraj vne ene izraze izra~unaj izra~unaj naslednje izraze pe in rezultate preveri s pomo~jo programa derive deset izvodov revije national geographics tehta g naklada revije naj bi bila milijonov tiso~ izvodov koliko ton papirja je potrebnih za celoletno tiskanje ~e revija izide vsak mesec na mlaki je lokvanjev vemo da se vsako leto tevilo lokvanjev podvoji izra~unaj koliko bo lokvanjev ~ez in let izmerimo dimenzije bankovca za tolarjev dimenzije so pribli`no x v milimetrih e postavimo na kup bankovcev je kup visok pribli`no mm kako bogati bi bili ~e bi imeli eno milijardo bankovcev po tolarjev zelo to bi bilo pa~ milijard tolarjev s pomo~jo ra~unalnika izra~unajmo kako visok kup denarja bi to bil e bi bankovce razporedili po tleh drugega ob drugega kak no povr ino bi pokrili e bi jih postavili drugega ob drugega vse s kraj imi robovi skupaj kako dolgo vrsto bi dobili koliko ~asa bi pre tevali denar ~e predpostavimo da pre tejemo deset bankovcev v petih sekundah koliko kubi~nih metrov denarja bi imeli deli izrazov ozna~evanje delov izrazov pogosto moramo vedeti kako je izraz sestavljen torej kateri podizrazi ga sestavljajo pri dolo~evanju zgradbe izraza si lahko pomagamo tudi s programom derive hkrati pa bomo njegovo zmo`nost da ozna~i podizraz uporabili tudi v druge namene poglejmo si naslednji zaslon osvetljen je cel izraz tevilka e uporabimo pu ~ico oziroma ¯ s tem premikamo osvetlitev po izrazih tako v gornjem primeru dvakratni pritisk na osvetli izraz tevilka e sedaj uporabimo pu ~ico v levo oz desno vstopimo v izraz osvetli se prvi sestavni del izraza pu ~ici ¬ in ® nas premikata po delih izraza na tem nivoju tako za gornji primer vidimo da je izraz sestavljen iz dveh podizrazov in izraz pa je sestavljen iz tirih podizrazov e se `elimo spustiti v strukturo podizraza pritisnemo pu ~ico dol osvetli se prvi sestavni del podizraza s ¬ in ® se sedaj lahko selimo po sestavnih delih tega podizraza pu ~ica ¯ nas spet popelje v podizraz seveda ~e je izraz sploh sestavljen na prej nji nivo se vrnemo s pu ~ico gor torej ¬ ® premikanje po delih izraza na nivo navzgor ¯ na nivo navzdol izjema je le takrat ko je osvetljen cel izraz in moramo za prehod na podizraz pritisniti ¬ oziroma ® tako lahko ugotovimo da je izraz sestavljen takole iz sestave izraza je dolo~eno kako se izraz izra~una poenostavitve e uporabimo ukaz simplify ko je osvetljen le del izraza se poenostavi le osvetljeni del na sliki smo osvetlili le del izraza uporabimo simplify derive poenostavi le osvetljeni del vidimo tudi da levo spodaj pi e simp ' opu ~aj opozarja da je poenostavljen le del izraza tudi f in f vedno preneseta le osvetljeni izraz e je torej osvetljen le del izraza se ob pritisku na f oziroma f prenese le osvetljeni del s pomo~jo ozna~evanja delov izrazov lahko ra~unamo v `eljenem vrstnem redu denimo da `elimo postopoma izra~unati vrednost izraza author ® ¯ simplify ® ¯ ® simplify ® simplify simplify vaje dolo~i vrstni red v katerem moramo izvesti operacije v naslednjih izrazih ugotovi kateri od zgornjih izrazov vsebujejo odve~ne oklepaje ra~unanje s simboli eprav je `e povsem natan~no ra~unanje posebnost po kateri se programi za simbolno ra~unanje razlikujejo od obi~ajnih matemati~nih ra~unalni kih programov in ra~unal je ra~unanje s simboli tista poglavitna novost ki jo prina ajo tako npr izra~unamo da velja a b a ab b v izrazih ki jih uporabljamo lahko torej nastopajo tudi spremenljivke in ne le tevila a b a b c a b spremenljivke ki jih uporablja derive so praviloma eno~rkovne da se uporabljati tudi dalj a imena vendar moramo zato spremeniti nastavitve programa prav tako z nastavitvijo lahko vplivamo na to ali lo~imo med malimi in velikimi ~rkami standardna nastavitev je taka da male in velike ~rke pomenijo isto zaradi dogovora o enoznakovnih imenih derive vsa dalj a imena obravnava kot produkt ustreznih spremenljivk tako abc pomeni produkt spremenljivk a b in c izraze ki vsebujejo spremenljivke vna amo tako kot tevilske izraze torej z izbiro author dobljene izraze poenostavimo z ukazom simplify seveda se ob tem lahko vpra amo kaj je poenostavitev je izraz a ab b bolj ali manj zapleten od izraza a b glede na izraz lahko traja kar precej ~asa da derive opravi svojo nalogo e predolgo ~akamo na poenostavljen izraz pritisnemo na tipko esc poenostavljanje v~asih zahteva tudi ve~ pomnilnika kot ga je na voljo v ra~unalniku takrat derive izpi e obvestilo memory full in prekine ra~unanje vaje izra~unaj pe in preveri rezultat a b c a b c x y z x y z x y z x y z a b vnesi in poenostavi naslednje izraze a b a b a b a b a b c d a b c d c a b kak en bo rezultat premisli in potem poskusi abc abc xyz xyz ijk ijk poenostavi y x yx x x x x xy kak en bo rezultat najprej premisli x a ax x y x y x x a a expand v~asih bi radi da derive izraz poenostavi malo druga~e tako ve~krat ho~emo da bi se izvedle vse navedene operacije tako bi denimo v izrazu a b ab a b ab radi izvedli nakazano mno`enje kot vidimo na sliki v izrazu derive na zahtevo simplify le preuredi izraz ukaz expand pa izvede vse navedene operacije e v izrazu kot je na primer ta v na em primeru nastopa ve~ spremenljivk nas derive vpra a katere spremenljivke naj upo teva pri razvoju e pritisnemo kar enter derive izvede vse operacije e pa napi emo a s tem povemo da naj se izvedejo le operacije kjer nastopa a derive nas nato vpra a ~e `elimo razvoj e po kak ni spremenljivki e tega no~emo pritisnemo enter druga~e pa spremenljivko vpi emo na sliki vidimo kak en efekt ima razli~na izbira spemenljivk izraz smo dobili z razvojem po vseh spremenljivkah pri smo navedli le a pri le b pri najprej a in nato b pri pa b in zatem a razvoj dela izraza e je ob uporabi ukaza expand osvetljen le del izraza se izvedejo le operacije v osvetljenem delu izraza druga~e pa veljajo enaka pravilo kot smo jih opisali prej oglejmo si kako bi s pomo~jo izbire expand postopoma re ili nalogo zapi i kot produkt izraz x y x y najprej vnesemo izraz author x y x y ozna~imo prvi ~len ® izvedemo operacijo expand in osvetlimo e drugi ~len ® ® ter e enkrat uporabimo expand expand v dobljenem izrazu ponovno izvedemo nakazano od tevanje expand in dobimo skr~en izraz v tem moramo le e izpostaviti skupni faktor y in naloga je kon~ana tudi pri zadnjem koraku nam lahko pomaga derive glej naslednji ukaz factor e en na~in preoblikovanja izrazov nam ponuja izbira factor ko uporabimo to izbiro nas najprej vpra a po tevilki izraza ki naj ga razcepi ali kot temu pogosto re~emo faktorizira derive pozna ve~ na~inov faktorizacije razcepa mi bomo uporabljali izbiri trivial in rational trivial tu derive le izpostavi skupne faktorje na primer a a preoblikujemo v a a rational je najbolj pogosto uporabljena faktorizacija zato je na za~etku osvetljena tu posku amo izraz razcepimo na produkt ~im enostavnej ih ~lenov tako x izbira rational razcepi v x x zadnji primer bi izbira trivial razcepila v x izraz smo dobili s factor trivial izraz s factor rational izraz pa s factor trivial poglejmo si zgled izraz a b c bi radi zapisali kot produkt author a b c factor ukaz zahteva da povemo izraz ki ga faktoriziramo pustimo vne eno tevilko ki pa~ zahteva faktorizacijo prej vne enega izraza in pritisnemo enter tako kot pri izbiri expand tudi izbira factor spra uje katere spremenljivke naj upo teva tudi pomen je enak obi~ajno bomo pritisnili kar enter nato derive zahteva da dolo~imo vrsto faktorizacije obi~ajno smo zadovoljni s ponujeno rational zato znova pritisnemo na enter tako dobimo `eljeni rezultat tudi izbiro factor lahko uporabimo le na delu izraza tistem pa~ ki ga osvetlimo factor in expand kot ukaza do faktorizacije lahko pridemo tudi druga~e lahko ju uporabimo pri vnosu izrazov tako v izbiri author napi emo author factor ali pa author factor trivial e torej ne navedemo na~ina faktorizacije derive izbere rational vne eni izraz moramo potem e poenostaviti seveda lahko namesto tevilke izraza vpi emo kar izraz npr author factor x x y xy y rational ali pa author factor x trivial da dobimo `e poenostavljen izraz tudi ukaz expand lahko uporabimo v izbiri author vaje odpravi oklepaje ab bc ab bc a b a b izpostavi skupni faktor q q q p q p q p q p q p q razstavi b a b zapi i kot produkt x x x x y x y x x y xy y s programom izvedi korake kot bi ra~unal pe ~e `eli naslednje izraze zapisati kot produkte b c c a a b x y x y x y x y x y y z y z vnesi in razvij po vseh spremenljivkah izraze dokler ne ugane splo ne oblike razvij q q q q dokler ne ugane splo ne oblike naslednje izraze zapi i kot produkte nalogo re i najprej pe rezultate pa preveri s programom derive x x x x x x x a a x xy y re i ena~be m m m m x preoblikuj ena~be in jih re i x y y y x x kak en je x ~e je x x x re i nenea~be x x x x x x ulomki ra~unanje z ulomki kakor hitro vnesemo izraz kjer uporabljamo deljenje vidimo da derive izraz preoblikuje v ulomek tako vnos izrazov da naslednjo sliko ulomek je ena od osnovnih oblik v katerih derive hrani tevila pri poenostavitvi zgornjih izrazov simplify dobimo derive torej racionalna tevila predstavi v obliki okraj anega ulomka in ne po~ne neumnosti kot ra~unala ki proglasijo za ulomki so lahko tudi ve~nivojski pri vsaki poenostavitvi pa se pretvorijo v obi~ajne enonivojske pri vnosih moramo paziti na prioriteto operacij ker je vne eni izraz linearen zapisan v enem nivoju moramo pri vnosu uporabiti ustrezne oklepaje vaje vnesi naslednje ulomke poenostavi ulomke iz vaje predstavi kot okraj an ulomek se tej zmno`i izra~unaj razcep na pra tevila e ukaz factor uporabimo nad celim tevilom nam tevilo razcepi na produkt pra tevil e isti ukaz uporabimo za ulomek nam ulomek najprej okraj a in v okraj anem ulomku razcepi tevec in imenovalec na prafaktorje kot vidimo na sliki se pri tem ne ustra i tudi zelo velikih tevil in razcep v vendar je razcep takih tevil v~asih lahko zelo dolgotrajen e se nam zdi da na rezultat ~akamo `e predolgo ~asa s pritiskom na tipko esc izvajanje ukaza prekinemo v zvezi s pra tevili omenimo e da v izrazih lahko uporabimo tudi prime n ki ob poenostavitvi da besedo true ~e je n pra tevilo in false sicer tako smo npr z izrazom ugotovili da ni pra tevilo s pa da je na voljo je e next prime n ki da prvo pra tevilo ve~je od n tako zvemo da bo prvo pra tevilsko leto v novem tiso~letju ter da je prvo pra tevilo ve~je kot milijon vaje razstavi na prafaktorje tevila poi ~i najmanj e pra tevilo ve~je kot katera tevila med letnico tvojega rojstva in leto njo letnico so pra tevila s pomo~jo razcepa na pra tevila ugotovi najve~ji skupni delitelj in najmanj i skupni ve~kratnik naslednjih parov tevil in realna tevila poleg racionalnih tevil vne enih kot ulomki ali kot decimalna tevila nam do vseh realnih tevilih manjkajo e iracionalna tevila teh derive seveda ne more predstaviti kot ulomke zato jih hrani v iracionalni obliki vnesimo in poenostavimo izraze kot vidimo derive pri poenostavitvi poskusi izraz zapisati v kar se da zgo ~eni obliki s tem da izpostavi iracionalni del pri tem uporablja razli~ne poenostavitve te ve~krat sploh niso enostavne kvadratni koren lahko napi emo tudi s pomo~jo funkcije sqrt tako sta si izraza in sqrt enakovredna derive pri obi~ajnih nastavitvah vsa racionalna tevila zapi e v obliki okraj anega ulomka iracionalna tevila pa v obliki produkta okraj anega ulomka in iracionalnega tevila decimalni zapis pribli`ek e pri ukazu auhtor uporabimo decimalni zapis se bo tevilo tudi na delovno povr ino zapisalo v tej obliki kakor hitro pa uporabimo ukaz simplify dobimo predstavitev tega decimalnega tevila v obliki okraj anega ulomka pogosto pri ra~unanju ne potrebujemo prav vseh tevk ampak nas zanima le ocena tevila poglejmo sliko poenostavitev izraza nam je dala ulomek z ogromnima teviloma v tevcu in imenovalcu radi bi vedeli koliko je to pribli`no to nam omogo~a izbira approx v na em primeru nam pove da je pribli`no × kako natan~en rezultat dobimo je odvisno od nastavitev natan~nost lahko nastavimo preko sistema izbir options precision digits ali pa kar z ukazom author precisiondigits standardna nastavitev je to pomeni da derive to~no izra~una tevk rezultata poglejmo e enkrat kako nastavljamo natan~nost izberemo options izberemo precision s tipko tab se preselimo v del kjer pi e digits tam vpi emo `eljeno natan~nost pazimo da ostane izbira exact v oklepajih kot izbrana druga~e bodo rezultati v~asih malo druga~ni od pri~akovanih ko pritisnemo enter se izbrana natan~nost tudi zapi e na delovno povr ino v obliki nastavitve pri uporabi ukaza approx pa moramo vedeti da dobljeni rezultat ni ve~ nujno to~en e na rezultatu dobljenem z approx uporabimo ukaz simplify ne dobimo vedno nazaj prvotnega ulomka tako nam simplify approx da ulomek izraz smo dobili tako da smo uporabili approx na pa tako da smo approx uporabili `e na pribli`ku vidimo da se in razlikujeta e bolj je razlika opazna pri in ki sta dobljena enako le ob ve~ji natan~nosti e ima ulomek kon~en decimalen zapis in je nastavljena natan~nost dovolj velika bomo z ukazom approx seveda dobili to~en decimalni zapis tevila vaje zapi i kot decimalno tevilo zapi i v obliki okraj anega ulomka in izra~unaj vrednost izrazov manage substitute ve~krat `elimo dolo~iti vrednost izraza pri dejanski vrednosti posameznih spremenljivk to nam omogo~a ukaz substitute ki ga najdemo v izbiri manage izbira manage substitute od nas najprej zahteva vnos izraza kjer `elimo dolo~ati spremenljivke nato po abecednem vrstnem redu dobivamo vse spremenljivke ki jim dolo~imo vrednost denimo da je izraz enak a a b in nas zanima njegova vrednost pri a in b manage substitute a b dobimo nov izraz kjer je povsod namesto a in namesto b druga~e je izraz nespremenjen sedaj ga lahko poenostavimo s simplify ali pa uporabimo kako druga~e vaje tabeliraj funkcijo x za x dolo~i kateri od prvih petih elementov zaporedja s ~leni oblike n n so deljivi z ali katero je najmanj e tevilo oblike n n ki ni pra tevilo absolutna vrednost derive pozna tudi absolutno vrednost izrazov to lahko vna amo bodisi kot abs izraz ali pa kot izraz absolutno vrednost lahko uporabimo tako nad tevili kot tudi nad spremenljivkami na sliki vidimo nekaj primerov ra~unov z absolutnimi vrednostmi na sliki vidimo v izrazih in zapisano tudi tevilo p tega vnesemo tako da enostavno napi emo pi na delovni povr ini pa ga derive prika`e z ustreznim znakom lahko pa ga vnesemo tudi tako da ob pritisnjeni tipki alt pritisnemo e tipko p vaje izra~unaj absolutno vrednost tevil p p izra~unaj poenostavi pe in preveri s pomo~jo programa derive p p p p p p p p p p p p p re evanje ena~b ena~be re ujemo z izbiro solve oglejmo si primer re imo ena~bo x author x solve e derive ugotovi da ena~ba nima nobene re itve zapiska in izpi e obvestilo no solutions found glej predzadnjo vrstico na sliki e je ena~ba taka da jo re i vsak x kot npr x x x x derive to izpi e kot x glej izraza in na sliki poglejmo primer v dveh posodah je skupaj l vina e iz prve posode odlijemo estino iz druge pa tretjino vsebine ostane v obeh posodah enaka koli~ina vina koliko litrov dr`i vsaka posoda razmislimo v prvi posodi je x litrov vina v drugi zato x litrov vina e iz prve posode odlijemo estino torej x litrov vina ostane v posodi e x x ali pet estin prvotne koli~ine x podobno velja za drugo posodo e odlijemo eno tretjino ostane v posodi e dve tretini prvotne koli~ine vina torej x re iti moramo ena~bo ena~bo vnesemo author x x izra~unamo jo s solve torej je v prvi posodi litrov vina v drugi pa litrov vaje s popustom smo blago pla~ali tolarjev kolik na je vrednost blaga brez popusta januarja smo blago najprej pocenili za februarja nato podra`ili za za koliko ga moramo marca poceniti da bo stal toliko kot pred januarsko pocenitvijo v posodo zme amo litrov litre in liter ~istega alkohola koliko je nastala me anica e bi v dolgih olskih klopeh sedelo po dijakov bi v zadnji ostalo prostora za dijakov e pa bi dijake razmestili tako da bi v vsaki klopi sedelo dijakov bi za dva zmanjkalo prostora koliko klopi je v razredu in koliko dijakov dvomestno tevilo ima vsoto tevk e tevki zamenjamo dobimo novo tevilo ki je proti staremu kot katero je prvotno tevilo tine bo ~ez let dvakrat toliko star kot je bil pred leti koliko je star sedaj kosec bi pokosil travnik v urah po eni uri dela se mu pridru`i e drugi ki bi sam isti travnik pokosil v sedmih urah kdaj sta skupaj pokosila travnik pe ec odide iz kraja a proti b s hitrostjo km h dve uri in pol pozneje pa odpelje za njim kolesar s hitrostjo km h kdaj in kje bo kolesar dohitel pe ca vodni rezervoar ki dr`i polnijo tri cevi po prvi cevi prite~e v urah po drugi v urah po tretji pa v petih urah toliko kot po drugi v tirih urah v kolik nem ~asu bo rezervoar poln ~e odpremo vse tri cevi ob uri zjutraj odpotuje pe ec iz kraja a v km oddaljeni kraj b s hitrostjo km h uro kasneje odpelje iz kraja b proti kraju a kolesar ki vozi s hitrostjo km h kdaj in kje se sre~ata risanje s programom derive lahko ri emo tudi funkcije risalno povr ino prikli~emo z izbiro plot glavnega izbora denimo da `elimo narisati funkcijo x najprej jo z ukazom author vnesemo na delovno povr ino napi emo jo lahko bodisi v obliki y x ali pa le kot x e je tam `e od prej jo s pomo~jo pu ~ic osvetlimo ko je funkcija ki jo `elimo narisati osvetljena z izbiro plot preidemo na risalno povr ino opazimo lahko da je koordinatni kri` `e narisan in da je na obeh oseh ozna~ena enota njihova velikost je napisana sredi zadnje vrstice zaslona scale in sicer posebej za x os in posebej za y os privzeta velikost enote je na zaslonu je e kri`ec le tega lahko premikamo po zaslonu s pomo~jo pu ~ic njegove koordinate cross so napisane levo spodaj e `elimo funkcijo narisati uporabimo ukaz plot ki je tudi na tet med izbirami ez nekaj trenutkov je funkcija narisana ponovna izbira plot nam funkcijo ponovno nari e vsaki~ v druga~ni barvi ko je risanje kon~ano program spodaj levo izpi e enter option risanje lahko prekinemo s pritiskom na tipko esc e je bil osvetljen le kak en podizraz se bo narisal graf tega izraza z izbiro algebra se vrnemo na osnovno delovno povr ino sedaj lahko osvetlimo ali vneseno novo funkcijo ki jo `elimo narisati po izbiri plot znova preidemo na risanje program najprej nari e funkcijo ki smo jo narisali prej drugo funkcijo nari e ele ko izberemo plot slika prve funkcije pri tem ostane na zaslonu tako lahko hkrati nari emo ve~ grafov funkcij na barvnem zaslonu bo vsak graf v svoji barvi ~e grafov ni ve~ kot program derive za risalno povr ino v dveh dimenzijah vodi poseben seznam funkcij ko uporabimo plot dodamo temu seznamu tisto funkcijo ki je v algebrskem oknu osvetljena razen ~e je ta `e na zadnjem mestu seznama na risalni seznam spreminjanje in brisanje funkcij v algebrskem oknu osnovni delovni povr ini ve vpliva tudi ~e bri emo funkcijo bomo pri vsakem prehodu v risanje na zaslon dobili njen graf vedno ko preidemo iz delovne povr ine na risalno se najprej nari ejo vse funkcije z risalnega seznama s tipko esc prekinemo izris posameznega grafa izbiri plot v osnovnem izboru in na risalni povr ini torej kljub enakemu imenu nista enaki prva nas le prestavi iz algebrskega v risalno okno druga pa nari e funkcijo ki je v algebrskem oknu osvetljena v~asih bi radi hkrati narisali tri grafe ali ve~ to lahko seveda naredimo postopoma vnesemo vse tri funkcije in osvetlimo prvo s plot preidemo na risanje in z izbiro plot nari emo prvo funkcijo z algebra gremo nazaj v algebrsko okno osvetlimo drugo funkcijo plot po~akamo izris prve funkcije s plot nari emo e drugo funkcijo gre tudi hitreje vse funkcije ki jih `elimo narisati napi emo v seznam tega za~nemo z oglatim predklepajem in ga z oglatim zaklepajem zaklju~imo funkcije med sabo lo~imo z vejicami sedaj plot nari e vse funkcije v seznamu seveda pa morajo biti vse funkcije ene spremeljivke v seznamu morajo biti vsaj tri funkcije e bi hkrati radi narisali le dve moramo iti po dalj i poti brisanje grafov funkcij risalnega seznama `al ne moremo izpisati ali videti zato moramo sami vedeti katere funkcije imamo na njem seveda bi radi funkcije iz tega seznama tudi brisali to nam omogo~a izbira delete bri emo lahko prvo zadnjo vse funkcije ali pa vse funkcije razen prve oz zadnje s seznama z izbiro plot torej na seznam dodajamo nove funkcije z delete pa jih z njega bri emo po vsakem brisanju se funkcije ki jih nismo zbrisali na novo nari ejo pove~ave pomanj ave in koordinatni sistem privzeta nastavitev velikosti enote koordinatnega sistema je velikost enote v obeh smereh najhitreje pove~amo s pritiskom na tipko f prvi pritisk spremeni enoto na naslednji na potem na po vsaki spremembi velikosti se vse funkcije ponovno nari ejo vendar nam ni treba ~akati s ponovnim pritiskom e `elimo pove~ati enoto z na le trikrat zapored pritisnemo na f tipka f deluje v obratni smeri tako enoti sledi velikost enote nato na ta na~in lahko poljubno pove~amo oziroma pomanj amo sliko seveda ~e nam ustrezajo ponujena razmerja natan~nej o kontrolo pa imamo z izbiro scale tu posebej nastavimo velikost enote za obe osi torej se velikosti lahko razlikujeta to nam ve~krat pride prav ~e npr `elimo opazovati graf funkcije ki se le malo spreminja na velikem delu realne osi ne pozabimo da do nastavitve enote za y os pridemo s pritiskom na tab v~asih nas zanima obna anje funkcije tudi drugje ne le okrog koordinatnega izhodi ~a pri ogledovanju drugih delov koordinatne ravnine si pomagamo s kri`cem in izbiro center slednja namre~ postavi koordinatni sistem tako da je kri`ec na sredini zaslona njegove koordinate pa ostanejo nespremenjene kri`ec lahko premikamo s pomo~jo pu ~ic vendar je tak na~in primeren le za manj e premike hitreje in natan~neje si pomagamo z izbiro move kjer vnesemo koordinati kamor `elimo prestaviti kri`ec od~itavanje vrednosti v risalnem oknu so v levem spodnjem oknu zapisane koordinate grafi~nega kri`ca lahko ga uporabimo tudi zato da od~itamo funkcijske vrednosti ki jih zavzame funkcija da bo to natan~nej e se s pritiskom na tipko f prilepimo na funkcijo sedaj se premikamo le s pu ~icama levo oz desno saj kri`ec ves ~as ostane na funkciji e uporabimo pu ~ici gor oz dol se preselimo na drugo funkcijo grafi~no re evanje ena~b grafi~no re imo ena~bo x x author x x osvetlimo levo stran ena~be ¬ in nari emo levo stran plot overlay plot gremo nazaj v algebrsko okno algebra osvetlimo desno stran ena~be ® ® in jo nari emo plot plot s pomo~jo grafi~nega kri`ca dolo~imo absciso prese~i ~a preverimo re itev e ra~unsko author x x solve re evanje sistemov linearnih ena~b direktna metoda solve derive zna re iti tudi sistem linearnih ena~b poglejmo zgled vsota dveh tevil je razlika poi ~i tevili razmislimo tevili ozna~imo z x in y vsota x y razlika x y re iti moramo sistem ena~b sistem vnesemo tako da obe ena~bi damo v oglate oklepaje in vmes naredimo vejico author izra~unamo ga s solve derive izra~una iskani tevili sta torej in e sistem ena~b ni enoli~no dolo~en nam derive vrne re itev spremenljivka x je poljubna y pa se izra`a z x e sistem nima re itve dobimo v sporo~ilni vrstici obvestilo no solutions found grafi~na metoda re evanje sistema z grafi~no metodo je v programu derive enostavno in pregledno obe premici pa~ nari emo ter odkrijemo prese~i ~e author x y plot overlay plot algebra author x y plot plot koordinati prese~i ~a odkrijemo tako da se s tipko f prilepimo na eno od premic in se s smernima tipkama ¬ in ® premaknemo do prese~i ~a v prese~i ~u se ustavimo v spodnjem levem kotu ekrana pa preberemo cross x y kar sta koordinati prese~i ~a in s tem tudi re itev sistema ena~b seveda moramo potem re itev preveriti vstavimo jo v obe ena~bi da vidimo ali je res prava algebra manage substitute x y simplify manage substitute x y simplify kot vidimo sta izraza in res oblike torej je x y res re itev vaje trgovec je iz tovarne dobil po iljko v kateri je bilo kozarcev majoneze ve~ kot kozarcev gor~ice potem ko je prodal kozarcev majoneze in ~etrtino kozarcev gor~ice je ugotovil da ima zdaj kozarcev gor~ice ve~ kot majoneze koliko kozarcev majoneze in koliko kozarcev gor~ice je bilo v po iljki uvoznik je za ton pomaran~ in dve toni kivija pla~al milijonov tiso~ lir pri naslednji po iljki so bile pomaran~e dra`je kivi pa cenej i za ton pomaran~ in tone kivija je pla~qal milijonov tiso~ lir koliko je stal kivi pred pocenitvijo prvi bager je delal ure drugi uri skupaj sta izkopala zemlje naslednji dan je prvi bager delal uri in drugi ure izkopala sta koliko zemlje izkoplje vsak bager sam v eni uri e delata miha in janez skupaj opravita delo v urah in minutah po urah skupnega dela se je janez po kodoval miha je nato delal sam e ur in minut da je dokon~al delo koliko ~asa bi za opravljeno delo potreboval vsak sam v razredu je u~encev od katerih se vsak u~i nem ~ine ali franco ~ine nekateri celo obeh jezikov razmerje med tevilom u~encev ki se u~ijo franco ~ine in tevilom u~encev ki se u~ijo nem ~ine je nem ~ine se u~ijo u~enci manj kot franco ~ine koliko u~encev se u~i oba jezika dolo~i trimestno naravno tevilo ~e je vsota njegovih tevk tevilo se zmanj a za ~e mu zamenjamo zadnji dve tevki e tevilu zamenjamo prvi dve tevki se zmanj a za pred tirimi leti je bil o~e tiri krat starej i od sina ez tiri leta bo o~e tri krat starej i od sina koliko sta stara danes delo z datotekami derive ve~krat ne vsebuje nastavitev in ukazov ki jih potrebujemo pri svojem delu na sre~o pa program lahko dopolnimo s svojimi ukazi v to kako to storimo se ne bomo spu ~ali obi~ajno bo u~itelj ali nekdo drug pripravil vse potrebne ukaze na datatoteko to ob za~etku dela preberemo v program in `e lahko uporabljamo tam definirane nastavitve in ukaze e npr navodila zahtevajo da preberemo dodatne ukaze in definicije to storimo tako da uporabimo ukaz transfer tam nato izberemo load in nato utiltity nato vnesemo ime datoteke z dodatnimi ukazi pri tem uporabimo ime kot ga pa~ predpisuje operacijski sistem dos e `elimo prebrati z datoteke nastavitve ravnamo enako le namesto izbire utility uporabimo state v~asih so navodila pripravljena v obliki tako imenovane demonstracijske datoteke te nalo`imo z ukazom transfer demo zanje je zna~ilno da vsake z datoteke prebran izraz avtomatsko e poenostavijo simplify in po~akajo na pritisk poljubne tipke poleg tega ve~krat vsebujejo e dodatna pojasnila ki se izpi ejo v levem spodnjem kotu zaslona vna anje lahko prekinemo s pritiskom na esc nato izvedemo nekaj samostojnih ukazov e potem znova uporabimo transfer demo in podamo isto datoteko se vnos nadaljuje na prekinjenem mestu