barbara basar tanja dermota bogdan kejzar matija lokar mojca lokar matjaz pertot ucni listi za matematiko s programom derive v sklopu projekta ucni listi za matematiko s programom derive ki je potekal od oktobra do decembra smo sodelavci na projektu pripravili nekaj u~nih listov namenjenih uporabi pri pouku matematike eleli smo predstaviti nekatere ideje ki so se pojavljale v sklopu tega projekta in sestaviti dolo~eno osnovo s pomo~jo katere bi u~itelj matematike la`je pri~el uporabljati ta program s tem smo `eleli prispevati k zbirki metodi~nih in drugih navodil za uporabo programov za simbolno ra~unanje v slovenskem jeziku ocenjujemo da je gradivo mogo~e uporabljati ~etudi programa derive prej ne poznamo v podrobnosti u~ni listi so v splo nem sestavljeni iz treh delov glava namenjena hitremu pregledu za kaj gre pri u~nem listu dejansko gradivo priloge vsebina datotek oblikovani listi za samostojno delo dijakov glava vsebuje naslednje to~ke naslov naveden je naslov teme ki jo obravnava gradivo kdaj kje se gradivo lahko uporabi navedeno je lahko vec sklopov denimo letnik seveda je razdelitev osebno obarvana in predstavlja le oporno tocko dolocena gradiva lahko zelo uspesno uporabimo tudi drugje program v katerem programu gimnazijski letnik letnik matem krozek vsebina opis snovi ki jo obravnava gradivo cilji kaj zelimo z gradivom nauciti pokazati denimo spoznavanje zveze med geometrijsko sliko drugega odvoda in lastnostmi funkcije metode dela mozne oblike so vodeno delo dijaka za racunalnikom misljeno je tisto gradivo ki je namenjeno izvajanju v racunalniski ucilnici s celim razredom ali delom razreda samostojno delo dijaka za racunalnikom gradivo ki je namenjeno samostojnemu delu dijaka za racunalnikom v ucilnici ali doma profesorjeva demostracija profesor uporablja racunalnik in elektronsko prosojnico oziroma kak drug nacin prikaza zaslonske slike racunalnika skupno raziskovanje profesorja in dijaka med uro dijaki in profesor skupaj uporabljajo racunalnik in program derive pri spoznavanju nove snovi pripomocek pri ponavljanju med uro dijak ali profesor skupaj uporabljajo racunalnik in elektronsko prosojnico ali pa le racunalnik pri ponavljanju pripomocek za ucitelja gradivo namenjeno ucitelju pri njegovi pripravi sestavljanju testov gradivo lahko spada v vec skupin v tem primeru jih je navedeno vec ceprav je vecino gradiva mogoce zelo enostavno prilagoditi vecini oblik datoteke seznam datotek ki so prilozene gradivu opombe razlicne opombe vezane na gradivo datum nastanka kdaj je gradivo nastalo avtor avtor gradiva to~ke so namerno oblikovane splo neje kot bi to zahtevalo gradivo nastalo v sklopu tega projekta ocenili smo namre~ da bi bilo smiselno nadaljevati s pripravo gradiva na ta na~in in menimo da navedene to~ke res predstavljajo tisto osnovno informacijo ki jo potrebujemo ko izbiramo in i ~emo gradivo primerno za uporabo dolgo ~asa smo premi ljevali ~e bi med to~ke uvrstili tudi poznavanje programa derive kjer bi navedli nivo predznanja ki ga pri~akujemo od uporabnika vendar je prevladalo prepri~anje da so te ocene tako subjektivne da jih nima smisla navajati e enkrat bi poudarili da ocenjujemo da je gradivo mogo~e uporabljati ~etudi programa derive prej prakti~no ne poznamo v gradivu so ukazi ki jih vna amo v derive tipkani s pisavo courier new ukazi so navedeni v tak ni obliki kot se pojavljajo v menujskem sistemu torej author solve approx ve~ zaporednih ukazov je lo~enih s po evnico plot overlay plot vnos podatka k ukazu pa je za dvopi~jem author x pri dolo~enih gradivih niso navedeni vsi ukazi e posebej ne npr ukaz za vra~anje v algebrsko okno iz okna za risanje pri datotekah predpostavljamo da so zbrane v imeniku odkoder za`enemo derive e le imate mo`nost vam svetujemo da vse pripravljene datoteke shranite v poseben imenik recimo c \gradivo in kasneje uporabljate imena datotek s potjo vred denimo transfer load derive c \gradivo\bisek mth in kdo smo bili v skupini barbara ba ar gimnazija kranj tanja dermota gimnazija kranj mag bogdan kej`ar gimnazija kranj mag matija lokar fakulteta za matematiko in fiziko univerza v ljubljani mojca lokar gimnazija kranj matja` pertot gimnazija kranj e imate pri uporabi gradiva kak ne te`ave ali pa bi `eleli tudi sami prispevati novo gradivo vas vabimo da se oglasite prav tako bomo veseli vsakega komentarja na naslov mag matija lokar fakulteta za matematiko in fiziko jadranska ljubljana el po ta matija lokar fmf uni lj si oziroma matemati~ni kabinet gimnazija kranj koro ka kranj kranj ljubljana december sodelavci projekta seznam gradiv eksponentna rast piramida in razmno`evanje bakterij eksponentna rast pravilo eksponentno pojemanje nastavljanje linearnih ena~b nastavljanje sistemov linearnih ena~b odvod kompozituma dveh funkcij parabola ra~unanje tevila pi ra~unanje tevila pi s krogu o~rtanimi pravilnimi mnogokotniki ra~unanje tevila pi s krogu v~rtanimi pravilnimi mnogokotniki sestavljanje funkcij temenska oblika kvadratne funkcije uporaba programa derive na maturi uporaba programa derive na maturi ii zaporedja eksponentna rast piramida in razmnozevanje bakterij kdaj gimnazijski program letnik vsebina eksponentna rast cilji dijaki uporabijo znanje eksponentne in logaritemske funkcije na vsakdanjih primerih utrjujejo znanje eksponentne logaritemske funkcije in enacbe lahko si odgovorijo na vecno vprasanje zakaj in kje se to rabi metode dela delo z racunalnikom s profesorjevo pomocjo datoteke opombe kljub velikemu navdusenju profesorja velikokrat naletimo na nerazumevanje in upiranje dijakov saj jemljejo to poglavje kot novo in ne kot uporabo eksponentne in logaritemske funkcije v praksi datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive eksponentna rast piramida kot prvi primer eksponentne rasti si bomo pogledali igro piramida marsikateri slovenec je sodeloval v njej in marsikateri je ostal brez denarja igra se je odvijala v avstriji v kraju klobasnica ker je v avstr iji zakonodaja bila bolj ugodna za igre na sreco seveda jo organizatorji niso tako imenovali saj so jo reklamorali kot fair play imeli so celo svojo svetovalno in pravno sluzbo piramida je dobila veliko posnemovalcev tudi pri nas catch teh catch poslji sest knjigic in vkratkem jih dobis se pe se to je pismo srece network twentyone vse te igre so primer eksponentnih funkcij z razlicnimi osnovami dijaki resujejo obravnavani problem s pomocjo racunalnika in z uporabo programa der ive ukaze vnasajo neposredno naloga piramida piramida je igrica pri kateri lahko zasluzis veliko denarja brez dela oce mora dobiti dva naslednika ki prispevata ats v blagajno in ats stroski organizatorja organizatorju igre ponavadi je to oce ali zacetnik igre njuna naloga je da dobita vsak dva naslednika ki placata enako vsoto v tem trenutku oce igre dobi ats ce se igra konca ti organizator vrne vplacan denar oce izpade iz igre njegova naslednika pa postaneta oceta itd enostavno ali ne praoce je korak nic njegova sinova pa korak ena ugotovi kako raste stevilo igralcev v igri izracunaj stevilo igralcev v koraku ali gre za eksponentno rast koliko igralcev je do sedaj igralo v igri koliko denarja je v igri samo v koraku koliko je to cliov oziroma novih his koliko organizator zasluzi v koraku koliko je to cliov oziroma novih his v katerem koraku je stevilo igralcev enako stevilu prebivalcev v sloveniji in v katerem koraku enako stevilu prebivalcev na zemlji v katerem koraku je v igri toliko kot je bruto drzavni proizvod slovenije v katerem koraku je v igri toliko kot je bruto drzavni proizvod svice narisi graf funkcije stevila igralcev glede na korake ali lahko organizator izplaca denar ali se splaca igrati potrebni podatki stevilo prebivalcev na zemlji milijard stevilo prebivalcev v sloveniji milijona stevilo prebivalcev v svici milijonov bdp slovenije leta usd na prebivalca bdp svice leta usd na prebivalca clio dem nova hisa dem usd sit dem sit ats sit naloga razmnozevanje bakterij z opazovanjem ugotovimo da se stevilo glji v kvasovk podvoji v urah v ugodnih razmerah na zacetku imamo toliko gljiv da zasedejo kubicni centimeter prostora v koliksnem casu bi napolnile kroglo ki ima polmer km koliksen polmer ima nasa zemljica in kdo jo bo pozrl navodila za vnos ukazov nastavitev natancnosti izracunavanja na mest author precisiondigits ali options precision tab vnos author zamenjava x za stevolo korakov manage substitute izracun tocen rezultat simplify zaokrozen rezultat approximate risanje grafov plot overlay plot eksponentna rast pravilo kdaj gimnazijski program letnik vsebina eksponentna rast cilji dijaki uporabijo znanje eksponentne in logaritemske funkcije na vsakdanjih primerih utrjujejo znanje eksponentne logaritemske funkcije in enacbe lahko si odgovorijo na vecno vprasanje zakaj in kje se to rabi metode dela delo z racunalnikom s profesorjevo pomocjo datoteke opombe kljub velikemu navdusenju profesorja velikokrat naletimo na nerazumevanje in upiranje dijakov saj jemljejo to poglavje kot novo in ne kot uporabo eksponentne in logaritemske funkcije v praksi datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive eksponentna rast pravilo za drugi primer eksponentne rasti bomo s pomocjo racunalnika pogledali rast glavnice pri obrestnem obrestovanju v primeru piramide ki je solski primer eksponentne funkcije dijakom ni potrebna posebna razlaga v primeru obrestnoobrestnega racuna pa moramo pred vajami izpeljati formulo za rast glavnice v drugem delu vaje pa bomo ugotovili pravilo katero je poznano v bancnistvu dijaki resujejo obravnavani problem s pomocjo racunalnika in z uporabo programa derive ukaze vnasajo neposredno navodila za vnos ukazov nastavitev natancnosti izracunavanja na mest author precisiondigits ali options precision tab vnos author zamenjava x za stevolo korakov manage substitute izracun tocen rezultat simplify zaokrozen rezultat approximate risanje grafov plot overlay plot naloga glavnico sit vlozimo v banko a ce je letna obrestna mera p koliko denarja imamo cez let b ce je letna obrestna mera p koliko denarja imamo cez let in mesecev c ce je letna obrestna mera p koliko denarja imamo cez let mesecev in dni d narisi graf glavnice v odvisnosti od ca sa pri zgornjih pogojih naloga glavnico sit vlozimo v banko kaj se bolj splaca a vezati vlogo glavnico za let ce je letna obrestna mera za vezane vloge v tolarjih p b kupiti dem dem sit in jih vezati za isti cas ce je letna obrestna mera za vezane vloge v markah p pricakujemo pa tecaj cez let sit za dem c kako bi morali spreminiti letne obrestne mere za vezane vloge v tolarjih oziroma v markah da bi bilo vseeno kako varcujemo d koli ko bi morala biti marka cez let da bi bilo vseeno kako varcujemo naloga kdaj se bo glavnica podvojila pri razlicnih letnih obrestnih merah najprej izrazi cas iz formule za obrestno obrestovanje nato izpolni tabelo letna obrestna mera cas ko se podvoji glavnica kaj ugotovis eksponentno pojemanje kdaj gimnazijski program letnik vsebina eksponentno pojemanje cilji dijaki uporabijo znanje eksponentne in logaritemske funkcije na vsakdanjih primerih utrjujejo znanje eksponentne logaritemske funkcije in enacbe lahko si odgovorijo na vecno vprasanje zakaj in kje se to rabi metode dela delo z racunalnikom s profesorjevo pomocjo datoteke opombe kljub velikemu navdusenju profesorja velikokrat naletimo na nerazumevanje in upiranje dijakov saj jemljejo to poglavje kot novo in ne kot uporabo eksponentne in logaritemske funkcije v praksi datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive eksponentno pojemanje absorbcija sve tlobe in dolocanje starosti arheoloskih najdb po vajah eksponentne rasti si bomo pogledali se eksponentno pojemanje pri dijakih vedno naletim na nerazumevanje neznanje kot bi bilo to nekaj cisto novega in nezemeljskega zato je potrebna dobra in uci nkovita uvodna razlaga posebaj se je praviti na absorbcijo svetlobe za poglavje dolocanje starosti arheoloskih najdb pa je potreben se uvod o izotopih ce tega uvoda ni se z eksponentnim pojemanjem ne doseze zeljenega dijaki resujejo obravnavani prob lem s pomocjo racunalnika in z uporabo programa derive ukaze vnasajo neposredno navodila za vnos ukazov author precisiondigits ali options precision tab vnos author zamenjava x za stevolo korakov manage substitute izracun tocen rezultat simplify zaokrozen rezultat approximate risanje grafov plot overlay plot naloga absorbcija svetlobe s poskusom ugotovimo da m debela plast morske vode prepusti natancno svetlobnega toka ki pada nanjo a koliko zacetnega svetlobega toka prepusti m m m in koliko m debela plast morske vode b v kateri globini pade svetlobi tok na zacetnega svetlobega toka c ali potrebujejo potapljaci na m globine svetilke d narisi graf funkcije absorbcije svetlobe v odvisnosti od globine naloga dolocanje starosti arheoloskih najdb na barju so odkrili coln ki je vseboval le se normalne kolicine ogljika razpolovni cas t let a koliko let je staro najdbisce b koliko normalne kolicine ogljika vsebuja najdba stara milijon let c izpolni tabelo normalne kolicine ogljika starost najdbe v letih milijonov temenska oblika kvadratne funkcije kdaj gimnazijski program letnik vsebina spoznavanje temenske oblike kvadratne funkcije cilji ucenci spoznajo pomen koeficientov v temenski obliki kvadratne funkcije in vpliv le teh na njeno obliko naucijo se poiskati enacbo kvadratne funkcije z danim temenom in koeficientom raztega metode dela vodeno delo dijaka za racunalnikom datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive temenska oblika kvadratne funkcije ucencem najprej predstavimo eksplicitno obliko enacbe kvadratne funkcije in s pomocjo tabeliranja take funkcije predstavimo obliko krivulje ki predstavlja njen graf parabole poimenujemo teme kot tocko v kateri doseze ekstrem nato ucence spodbudimo da sami poiscejo temensko obliko funkcije na primerih raziscejo vpliv koeficientov na njen graf vse to v primerjavi s funkcijo y x na koncu znajo ze sami iz preprostejsih grafov poiskati enacbo funkcije v temenski in iz te v eksplicitni obliki v isti koordinatni sistem narisite grafe naslednjih funkcij in izpisite koordinate njihovih temen navodilo funkcijo vnesete z ukazom author in jo narisete z ukazoma plot overlay plot primer author x plot overlay plot merilo na oseh spreminjate z f in f grafe brisete z ukazom delete all teme a f x x b f x x c f x x kako torej p vpliva na graf x p v isti koordinatni sistem narisite se grafe naslednjih funkcij in izpisite se koordinate njihovih temen teme a f x x b f x x c f x x kako pa na graf x q vpliva parameter q s sliko sedaj poiscite teme funkcije f x x kje ima teme funkcija f x x p q raziscite se vpliv vodilnega koeficienta a na obliko grafa kvadratne funkcije poglejte kaj se zgodi s parabolo ce je a pozitiven negativen po absolutni vrednosti manjsi ali vecji od ena vpisite funkcijo a x in spreminjajte a a uporabite ukaz manage substitute vse grafe narisite kako a vpliva na koordinati temena na sliki spodaj najdete grafe petih kvadratnih funkcij s slike odcitajte teme vseh grafov od leve proti desni in dolocite se vodilni koeficient kot faktor raztega kvadratne funkcije enacbe s pomocjo racunalnika ukaz expand zapisite v eksplicitni obliki a b c d e uporaba programa derive na maturi kdaj gimnazijski program letnik vsebina uporaba programa derive pri resevanju maturitetnih nalog cilji ugotoviti kako lahko programi za simbolno racunanje vplivajo na izbiro nalog pri preizkusih znanja metode dela datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive uporaba programa derive na maturi pri resevanju maturitetnih nalog je prepovedana uporaba kalkulatorjev ki omogocajo simbolno racunanje zanimalo me je ali bi uporaba takega pripomocka bistveno vplivala na uspeh nasih dijakov pri maturi program bi najbolj pomagal tistim dijakom ki vedo kako je treba nalogo resiti pri izvedbi pa se zelo hitro zmotijo drugace pa je s poznavanjem funkcij in njihovih grafov naloge ki zahtevajo izkljucno samo risanje grafov bi bile nesmiselne saj bi morali dijaki samo prerisati sliko tudi razne racionalne enacbe razstavljanje polinomov in podobne naloge nebi preverjale znanja dij aka nadomestiti bi jih bilo potrebno z drugacnimi nalogami za primerjavo sem si izbrala naloge ki so jih slovenski dijaki resevali na maturi leta nekatere med njimi so take da program opravi skoraj vse pri drugih pa do resitve pridemo hitreje kar sami zanimiva je primerjava z maturitetnimi nalogami iz leta ki so objavljene v knjigi bogoslavov zbirka resenih zadataka iz matematike te naloge so precej zahtevnejse zahtevajo sirse znanje in mocno dvomim da bi jih kdo resil samo zato ker je imel na razpolago program za simbolno racunanje seveda pa bi se lahko izognili neljubim napakam pri racunanju matura osnovni nivo ce od stevila b odstejemo dvakratnik stevila a dobimo ce zmanjsamo petkratnik stevila a za b pa izracunajte stevili a in b dijak mora znati zapisati dve enacbi z dvema neznankama ostalo opravi racunalnik author solve a b za in izracunajte vrednost izraza pri tej nalogi mora dijak samo pravilno vnesti izraz v racunalnik poznati pa mora zvezo author a sqrt b b sqrt a manage substitute a sqrt b sqrt simplify rezultat je poenostavite izraz naloga je dovolj enostavna da bi jo lahko resili samostojno lahko pa si pomagajo z racunalnikom najprej vtipkamo izraz in ga poenostavimo author sin pi x sin pi x sin x pi sin x pi simplify in ze imamo rezultat dan je polinom zapisite tocko v kateri graf polinoma seka ordinatno os in izracunajte enacbo tangente na graf polinoma v tocki t y poiscemo vrednost polinoma v tocki t author x x x manage substitute x simplify y smerni koeficient tangente je enak vrednosti odvoda v tocki t jump calculus differentiate x simplify manage substitute x simplify k zdaj zapisemo se enacbo tangente author y x solve y y x splaca pa se preveriti resitev graficno plot overlay plot algebra jump plot plot s pomocjo tipke f lahko zmanjsamo enoto v koordinatnem sistemu da bo pregled boljsi resite enacbo author log x solve kroznici s srediscem v izhodiscu koordinatnega sistema se ena z zunanje druga pa z notranje strani dotikata elipse izracunajte ploscino kolobarja med obema kroznicama tudi tu lahko krivuljo narisejo author x y plot overlay plot in iz slike odcitajo polmera obeh krogov polmer manjsega je vecjega pa ploscino torej lahko izracinamo author p pi pi simplify p pi imamo kompleksno stevilo izracunajte author abs i simplify narisite graf funkcije in izracunjte ploscino lika med grafom funkcije in osjo x na intervalu author x plot overlay plot iz slike se vidi da je funkcija na intervalu pozitivna zato je ploscina enaka algebra calculus integrate x simplify ploscina meri trgovski potnik bo obiskal mest vsako natanko enkrat na koliko nacinov lahko to stori ce je izmed teh mest prvo ki ga bo obiskal novo mesto pri tej nalogi samo zapise resitev tocke a b in c so dolocene s krajevnimi vektorji in z in izrazite krajevni vektor razpolovisca s daljice ab in krajevni vektor tocke u ki deli daljico ac v razmerju resevanje te naloge bi zahtevalo ze podrobnejse poznavanje programa prvi clen geometrijskega zaporedja je cetrti clen pa zapisite splosni clen tega zaporedja in ugotovite koliko clenov je po absolutni vrednosti manjsih od kdor ve kaksno je geometrijsko zaporedje bi hitro izracunal da je kolicnik q author q solve q s programom pa si lahko pomagajo tudi pri drugem delu naloge author abs n solve approximate ugotovijo da mora b iti n torej zgornji zahtevi ustreza prvih clenov osnovna ploskev pokoncne tristrane prizme abca'b'c' je enakostranicni trikotnik s stranico cm visina prizme je cm tocka d je razpolovisce roba ab izracunajte kot da'c n na minuto natancno narisi skico ko narisejo skico ugotovijo da je trikotnik dca' pravokoten zato morajo za izracun kota poznati le dve njegovi stranici dc je visina enakostranicnega trikotnika torej meri ca' je diagonala pravokotnika s stranicama a in v zato je njena dolzina enaka author asin sqrt sqrt deg approx v rezredu je ucencev vsi so resevali test sestavljen iz dveh nalog prvo nalogo je resilo drugo pa vseh ucencev pet ucencev ni resilo nobene naloge izracunajte koliko ucencev je resilo obe nalogi izracuni so zelo preprosti nalogo se da resiti na pamet naj bosta a in b dve razlicni realni stevili pokazite da ima enacba dve razlicni realni resitvi enacbo vnesejo in poiscejo resitve author x x a b x a solve x iz zapisa resitev se vidi da sta resitvi razl icni kadar je to pa velja za poljubni stevili a in b saj morata biti razlicni torej nista hkrati uporaba programa derive na maturi ii kdaj gimnazijski program letnik vsebina uporaba programa derive pri resevanju maturitetnih nalog cilji ugotoviti kako lahko programi za simbolno racunanje vplivajo na izbiro nalog pri preizkusih znanja metode dela datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive matura ii poisci prostornino telesa ki nastane z vrtenjem lika omejenega s krivuljama in za ° okrog osi x za predstavo je koristno ce imamo pred sabo sliko zadosca ce narisemo sliko v prvem kvadrantu author y sqrt x plot overlay plot algebra author y sqrt x plot plot poiscemo presecisci author sqrt x sqrt x solve krivulji se sekata pri x in x zato bo treba integrirati v mejah od do author x x pi calculus integrate x simplify prostornina vrtenine meri vsota treh zaporednih clenov geometrijskega zaporedja je ce prvo stevilo povecamo za drugo za tretje pa za dobimo tri zaporedne clene aritmeticnega zaporedja poisci vsoto prvih clenov aritmeticnega zaporedja dijak mora sam zapisati ustrezno aritmeticno zaporedje in obe enacbi in iz obeh enacb lahko izrazimo a in sicer author a aq aq solve a author aq a aq solve a desno stran zadnje enacbe osvetlimo tako da dvakrat zaporedoma pritisnemo na tipko s tipko prenesemo desno stran v opravilno vrstico author q q solve resitvi za q sta in zopet osvetlimo desno stran iste enacbe kot prej in nadomestimo q s oz author manage substitute q simplify prvic dobimo resitev a ko pa enak postopek ponovimo se za q dobimo a zapisemo ustrezni aritmeticni zaporedji in d in d izracunamo vsoto author n a n d manage substitute a d n simplify s na enak nacin izracunamo se vsoto drugega zaporedja samo zamenjamo velikost spremenljivk a d in n s poisci enacbo kroznice ki gre skozi tocko a in obe gorisci hiperbole ki ima asimptoti in tangento x y iz enacbe asimptot in iz dejstva da gre kroznica skozi gorisci lahko sklepamo da lezi sredisce kroznice na osi y zato ima enacba kroznice obliko enacba hiperbole je iz enacb asimptot dobimo da je tangenta hiperbole ima smerni koeficient n upostevamo lahko tangentni pogoj za hiperbolo author a k b n manage substitute b a k n simplify in dobimo resitev oziroma a in b ker je gre kroznica skozi tocki in resiti moramo le se sistem dveh linearnih enacb z dvema neznankama author x y ax b manage substitute x y simplify prva enacba je a b author jump manage substitute x y simplify druga enacba a b poiscemo se resitev tega sistema author a b solve a b vrednosti za a in b vstavimo se v enacbo kroznice author jump manage substitute a b simplify resitev se glasi visina pravilne strane prisekane piramide je cm prostornina pa ploscini osnovnih ploskev sta v razmerju doloci plasc iz slike ki je nujno potrebna vidimo da plasc sestvljajo stirje enakokraki trapezi rob vecje osnovne ploskve oznacimo z a manjse pa z b ker je je prostornino prisekane piramide izracunamo po obrazcu author a b ab manage substitute b a solve upostevamo lahko le pozitivno resitev a odtod je b s pomocjo pitagorovega izreka izrazimo visino enakokrakegih trapezov ki sestavljajo plasc piramide zato je plasc enak in ga lahko izracunamo author a b sqrt v a b manage substitute a b v simplify izracunaj stranice trikotnika s podatki b c upostevamo da je c b in to vstavimo v enacbo za ploscino trikotnika author sqrt b b sin deg solve upostevamo lahko le eno resitev npr b c zdaj je treba izracunati le se a author a b c bccos deg manage substitute b c solve a nastavljanje linearnih ena cb kdaj gimnazijski program letnik vsebina dijaki nastavijo linearno ena~bo ena~bo re ijo s pomo~jo derive preverijo smiselnost rezultatov e je potrebno popravijo nastavljeno ena~bo cilji utrditev znanja iz nastavljanja linearnih ena~b metode dela samostojno delo dijaka za ra~unalnikom pripomo~ek pri ponavljanju datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta u~ni listi za matematiko s programom derive nastavljanje linearnih ena cb po vzoru naslednje naloge re i e preostale primer v dveh posodah je skupaj l vina e iz prve posode odlijemo estino iz druge pa tretjino vsebine ostane v obeh posodah enaka koli~ina vina koliko litrov dr`i vsaka posoda razmislimo v prvi posodi je x litrov vina v drugi zato x litrov vina e iz prve posode odlijemo estino torej x litrov vina ostane v posodi e x x ali pet estin prvotne koli~ine x podobno velja za drugo posodo e odlijemo eno tretjino ostane v posodi e dve tretini prvotne koli~ine vina torej x re iti moramo ena~bo pomagajmo si s programom derive ena~bo vnesemo author x x izra~unamo jo s solve derive izra~una x torej je v prvi posodi litrov vina v drugi pa litrov e ena~bo re i vsak x npr x x x derive to zapi e kot x e ena~ba nima re itve dobimo v sporo~ilni vrstici obvestilo no solutions found tvoja naloga je temeljito preberi vsako nalogo premisli kaj je znano kaj neznano nastavi ena~bo ki re i tvoj problem izra~unaj s pomo~jo derive vnos ena~be author izra~un ena~be solve premisli o pravilnosti re itve e je potrebno popravi nastavek ena~be naloge s popustom smo blago pla~ali tolarjev kolik na je vrednost blaga brez popusta januarja smo blago najprej pocenili za februarja nato podra`ili za za koliko ga moramo marca poceniti da bo stal toliko kot pred januarsko pocenitvijo v posodo zme amo litrov litre in liter ~istega alkohola koliko je nastala me anica e bi v dolgih olskih klopeh sedelo po dijakov bi v zadnji ostalo prostora za dijakov e pa bi dijake razmestili tako da bi v vsaki klopi sedelo dijakov bi za dva zmanjkalo prostora koliko klopi je v razredu in koliko dijakov dvomestno tevilo ima vsoto tevk e tevki zamenjamo dobimo novo tevilo ki je proti staremu kot katero je prvotno tevilo tine bo ~ez let dvakrat toliko star kot je bil pred leti koliko je star sedaj kosec bi pokosil travnik v urah po eni uri dela se mu pridru`i e drugi ki bi sam isti travnik pokosil v sedmih urah kdaj sta skupaj pokosila travnik pe ec odide iz kraja a proti b s hitrostjo km h dve uri in pol pozneje pa odpelje za njim kolesar s hitrostjo km h kdaj in kje bo kolesar dohitel pe ca vodni rezervoar ki dr`i polnijo tri cevi po prvi cevi prite~e v urah po drugi v urah po tretji pa v petih urah toliko kot po drugi v tirih urah v kolik nem ~asu bo rezervoar poln ~e odpremo vse tri cevi ob uri zjutraj odpotuje pe ec iz kraja a v km oddaljeni kraj b s hitrostjo km h uro kasneje odpelje iz kraja b proti kraju a kolesar ki vozi s hitrostjo km h kdaj in kje se sre~ata odvod kompozituma dveh funkcij kdaj gimnazijski program letnik vsebina odvod kompozituma funkcije cilji pomo~ pri postavljanju domneve za odvod kompozituma funkcije metode dela samostojno delo dijaka datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta u~ni listi za matematiko s programom derive odvod kompozituma dveh funkcij s pomo~jo teh vaj naj bi dijaki sami posku ali najti pravilo za odvod kompozituma dveh funkcij vaje naj bi dijaki re evali samostojno potem ko so `e spoznali pravila za odvod naslednjih funkcij polinomov posebej x f x ln x f x a x f x sin x f x cos x pred izvedbo vaj je dobro ~e v razredu ponovite pojem kompozituma funkcije in zapisa f g x vaje so oblikovane `e kot listi ki jih dobijo dijaki in vanje vpisujejo odgovore postopek vnesi izraz kot je naveden v prvem in tretjem stolpcu to naredi tako da si izbere ukaz author pritisne ~rko a in vtipka naveden znake ter pritisne enter primer pritisnjene tipke so napisane polkrepko author x enter poi ~i odvod te funkcije calculus differentiate enter enter enter simplify enter naloge v tabeli je zapisanih ve~ funkcij ki so vse oblike sin f x s pomo~jo opisanega postopka poi ~i y' ~e je y sin x y' izpolni tabelo funkcija y odvod y' funkcija y odvod y' x sin x x sin x e x sin e x x sin x x sin x x x sin x x x sin x prou~i rezultate ali zna napisati splo en obrazec za odvod sin f x v tabeli je zapisanih ve~ funkcij ki so vse oblike cos f x s pomo~jo opisanega postopka poi ~i y' ~e je y cos x y' izpolni tabelo funkcija y odvod y' funkcija y odvod y' x cos x x cos x e x cos e x x cos x x cos x x x cos x x x cos x prou~i rezultate ali zna napisati splo en obrazec za odvod cos f x v tabeli je zapisanih ve~ funkcij ki so vse oblike s pomo~jo opisanega postopka poi ~i y' ~e je y x y' izpolni tabelo funkcija y odvod y' funkcija y odvod y' x x x x e x e x sin x sin x cos x cos x x x x x x x x x ln x ln x x x prou~i rezultate ali zna napisati splo en obrazec za odvod f x v tabeli je zapisanih ve~ funkcij ki so vse oblike s pomo~jo opisanega postopka poi ~i y' ~e je y Ö x koren lahko vnese kot alt q y' izpolni tabelo funkcija y odvod y' funkcija y odvod y' x Ö x x Ö x e x Ö e x sin x Ö sin x cos x Ö cos x x x Ö x x x x Ö x x ln x Ö ln x x Ö x prou~i rezultate ali zna napisati splo en obrazec za odvod glede na ugotovitve prej njih tirih nalog poskusi poiskati splo no pravilo za zapi i pravilo z besedami zapi i pravilo simboli~no s pomo~jo poiskanega pravila izra~unaj naslednje odvode pe in jih nato preveri s pomo~jo programa derive y y' y y' y y' y y' y y' y y' parabola kdaj gimnazijski program letnik vsebina zapis enacbe parabole s pomocjo njene geometrijske definicije cilji ucenci spoznajo parabolo kot mnozico tock ki so enako oddaljene od dane premice in tocke naucijo se poiskati enacbo parabole z dano vodnico in goriscem spoznajo oblike enacb za parabolo v srediscni pa tudi premaknjeni legi metode dela vodeno delo dijaka za racunalnikom datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive parabola v okviru obravanja krivulj drugega reda spoznajo ucenci tretjega letnika tudi parabolo seznanimo jih z geometrijsko definicijo parabole in jih spodbudimo da sami poiscejo njeno enacbo parabolo s pomocjo programa derive tudi narisejo in tako spoznajo njeno obliko in razlicne lege v koordinatnem sistemu parabola je mnozica tock ki so enako oddaljene od dane premice z enacbo ax by c in dane tocke f p q premico imenujemo vodnica tocko pa gorisce zapisemo obrazca za oddaljenost tocke na paraboli t x y od premice in od gorisca in izenacimo kvadrata teh razdalj pridemo do enacbe ax by c x p y q a b to enacbo se malce poenostavimo da bo primerna za obdelavo z derive om a b x p y q ax by c na tak nacin jo tudi vpisemo v ukazno vrstico z ukazom author ucencem nato zastavimo naslednje naloge poiscite enacbo parabole ki ima a gorisce v f vodnica pa ima enacbo x b gorisce v f vodnica pa ima enacbo x c gorisce v f vodnica pa ima enacbo x enacbe poiscete tako da s pomocjo ukazov manage substitute v splosni enacbi nadomestite parametre a b c p q enacba premice mora biti v implicitni obliki dobljeno enacbo se poenostavite z ukazom simplify narisite grafe vseh treh funkcij s pomocjo programa derive ukaz plot narisite pa tudi premice vodnice v isti barvi kot graf po potrebi spreminjajte meje v katerih je graf narisan range kaj je skupna znacilnost vseh dobljenih parabol sedaj poskusite brez racunalnika zapisati se enacbi naslednjih parabol in skicirati njun graf d parabola z goriscem v f in vodnico x e parabola z goriscem v f in vodnico x poiscite enacbo in narisite se naslednje parabole kaksna je njihova skupna znacilnost poiscite eksplicitno enacbo vseh teh parabol izra zite y katero funkcijo dobite a gorisce v f vodnica pa ima enacbo y b gorisce v f vodnica pa ima enacbo y c gorisce v f vodnica pa ima enacbo y graficno in racunsko s pomocjo programa derive resite se naslednjo nalogo doloci mnozico tock ki so enako oddaljene od premice z enacbo y x in tocke f kaj predstavlja dana mnozica racunanje stevila s krogu ocrtanimi pravilnimi mnogokotniki kdaj gimnazijski program letnik vsebina ocrtavanje pravilnih mnogokotnikov v krog in nato racunanje priblizkov stevila cilji ponovitev pomena stevila izpeljava preproste zveze med stranico krogu ocrtanega n kotnika in stranico krogu ocrtanega n kotnika ta zveza nam omogoca preprosto izracunavanje vedno boljsih priblizkov za stevilo metode dela naloge za samostojno delo dijaka poznavanje programa derive datoteke prib pi mth opombe literatura legisa peter matematika drugi letnik kompleksna stevila eksponentna funkcija in logaritem merjenje v geometriji ljubljana dzs stalec ivan matematika za letnik tehniskih sol ljubljana dzs racunanje stevila s krogu vcrtanimi pravilnimi mnogokotniki v tej zbirki datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive racunanje stevila s krogu ocrtanimi pravilnimi mnogokotniki stevilo je razmerje med obsegom in premerom kroga obseg kroga lahko ocenimo tako da krogu ocrtamo pravilni n kotnik in nato za obseg kroga vzamemo kar obseg n kotnika ocena bo tem boljsa cim vecji bo n zaporedje obsegov ocrtanih pravilnih mnogokotnikov je navzdol omejeno z obsegom kroga obsegu kroga se priblizamo poljubno blizu ce je le n zadosti velik med vsemi pravilnimi mnogokotniki ki so vcrtani v dani krog najlazje konstru iramo stirikotnik pri prvih treh nalogah bomo seveda uporabljali svincnik sestilo ravnilo in papir sele nato pa program derive naloga danemu krogu ocrtajte pravilni stirikotnik in sestkotnik iz pravilnega n kotnika na preprost nacin dobimo pravilni n kotnik razpolovimo lok nad stranico pravilnega n kotnika in naloga danemu krogu ocrtajte pravilni kotnik in pravilni kotnik z oznacimo dolzino stranice pravilnega n kotnika ki je vcrtan v enotski krog radij tega kroga je enak tedaj ima stranica n kotnika dolzino naloga dokazite zgornjo enakost oglejte si pravokotni trikotnik s katetama in ploscino tega trikotnika izracunajte na dva razlicna nacina pa boste dobili zgornjo zvezo priblizek stevila pa je seveda naloga z uporabo programa derive izracunajte priblizke stevila s pomocjo enotskemu krogu ocrtanega pravilnega stirikotnika osemkotnika kotnika v programu derive nastavljajte racunanje na razlicno stevilo mest rezultate med seboj primerjajte in razmisljajte o napakah pri zaokrozevanju naloga izvedite kar zahteva naloga le da zacnete s pravilnim sestkotnikom ce ste pri imeli tezave pri resevanju zadnjih dveh nalog si oglejte datoteko prib pi mth v tej datoteki so zbrani programi ki resujejo zgornje dve nalogi pri branju te datoteke boste odkrili tudi mnoge poti da boste lahko na svoj nacin resili nalogi prib pi mth datoteka prib pi racunanje priblizkov stevila pi natancnost racunanja precision approximate precisiondigits p v a n je priblizek stevila pi vhodna parametra a n a je stranica pravilnega n kotnika ki je vcrtan ali ocrtan enotski kroznici n stevilo stranic veckotnika p v a n a n s v a je stranica n kotnika vcrtanega enotski kroznici vhodni parameter a a je stranica pravilnega n kotnika vcrtanega enotski kroznici s v a sqrt sqrt a s o a je stranica n kotnika ocrtanega enotski kroznici vhodni parameter a a je stranica pravilnega n kotnika vcrtanega enotski kroznici s o a a sqrt a prib v a m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n stevilo iteracij prib v a m n append ~ iterates ~ ~ ~ n prib o a m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a m n a je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n stevilo iteracij prib o a m n append ~ iterates ~ ~ ~ n racunanje nove vrstice priblizkov novi p x y z n if abs y x n ~ prib pi a b m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a b m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici b je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n dolzina intervala v katerega ujamemo pi prib pi a b m n append ~ iterates novi p x y z n ~ ~ prib pik a b m n vrne priblizka stevila pi vhodni parametri a b m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici b je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n dolzina intervala v katerega ujamemo pi prib pik a b m n iterate novi p x y z n ~ ~ racunanje stevila kdaj gimnazijski program letnik vsebina racunanje priblizkov stevila s pomocjo krogu vcrtanih in ocrtanih pravilnih mnogokotnikov cilji ponovitev pomena stevila metode dela naloge za samostojno delo dijaka poznavanje programa derive datoteke prib pi mth opombe literatura legisa peter matematika drugi letnik kompleksna stevila eksponentna funkcija in logaritem merjenje v geometriji ljubljana dzs stalec ivan matematika za letnik tehniskih sol ljubljana dzs racunanje stevila s krogu vcrtanimi pravilnimi mnogokotniki v tej zbirki datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive racunanje stevila stevilo je razmerje med obsegom in premerom kroga najprej preberite v opombah omenjena prispevka ki jih najdete v tej zbirki obseg kroga je manjsi od obsega krogu ocrtanega pravilnega n kotnika in seveda vecji od obsega krogu vcrtanega pravilnega n kotnika cim vecji je n tem manjsi je interval v katerega na zgoraj opisan nacin ujamemo obseg kroga z oznacimo dolzino stranice pravilnega n kotnika ki je vcrtan v enotski krog radij tega kroga je enak z pa oznacimo dolzino stranice pravilnega n kotnika ki je krogu ocrtan velja in po deljenju z zgornja relacija nam pomaga ujeti stevilo na poljubno majhen interval ce le n vzamemo zadosti velik naloga s pomocjo programa derive in upostevanjem zgornje zveze ujemite stevilo na interval ki ima dolzino manjso od nalogo resite na dva nacina postopoma racunajte meje intervala za n dokler njegova sirina ne pade pod v derive u napisite preprost program ki bo za vas izvedel zgornje korake v datoteki prib pi mth najdete programe ki resijo zgornjo nalogo pri branju te datoteke boste tudi odkrili nove poti za svoje lastne resitve prib pi mth datoteka prib pi racunanje pribliskov stevila pi natancnost racunanja precision approximate precisiondigits p v a n je priblizek stevila pi vhodna parametra a n a je stranica pravilnega n kotnika ki je vcrtan ali ocrtan enotski kroznici n stevilo stranic veckotnika p v a n a n s v a je stranica n kotnika vcrtanega enotski kroznici vhodni parameter a a je stranica pravilnega n kotnika vcrtanega enotski kroznici s v a sqrt sqrt a s o a je stranica n kotnika ocrtanega enotski kroznici vhodni parameter a a je stranica pravilnega n kotnika vcrtanega enotski kroznici s o a a sqrt a prib v a m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n stevilo iteracij prib v a m n append ~ iterates ~ ~ ~ n prib o a m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a m n a je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n stevilo iteracij prib o a m n append ~ iterates ~ ~ ~ n racunanje nove vrstice priblizkov novi p x y z n if abs y x n ~ prib pi a b m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a b m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici b je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n dolzina intervala v katerega ujamemo pi prib pi a b m n append ~ iterates novi p x y z n ~ ~ prib pik a b m n vrne priblizka stevila pi vhodni parametri a b m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici b je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n dolzina intervala v katerega ujamemo pi prib pik a b m n iterate novi p x y z n ~ ~ racunanje stevila s krogu vcrtanimi pravilnimi mnogokotniki kdaj gimnazijski program letnik vsebina racunanje priblizkov stevila s pomocjo krogu vcrtanih in ocrtanih pravilnih mnogokotnikov cilji ponovitev pomena stevila in uporaba zvez v pravokotnem trikotniku ki nas pripeljejo do zanimive relacije med stranico krogu vcrtanega n kotnika in stranico krogu vcrtanega n kotnika ta relacija nam omogoca preprosto izracunavanje vedno boljsih priblizkov za stevilo metode dela naloge za samostojno delo dijaka poznavanje programa derive datoteke prib pi mth opombe literatura legisa peter matematika drugi letnik kompleksna stevila eksponentna funkcija in logaritem merjenje v geometriji ljubljana dzs stalec ivan matematika za letnik tehniskih sol ljubljana dzs racunanje stevila s krogu vcrtanimi pravilnimi mnogokotniki v tej zbirki datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta ucni listi za matematiko s programom derive racunanje stevila s krogu vcrtanimi pravilnimi mnogokotniki stevilo je razmerje med obsegom in premerom kroga obseg kroga lahko ocenimo tako da krogu vcrtamo pravilni n kotnik in nato za obseg kroga vzamemo kar obseg n kotnika ocena bo tem boljsa cim vecji bo n zaporedje obsegov vcrtanih pravilnih mnogokotnikov je navzgor omejeno z obsegom kroga obsegu kroga se priblizamo poljubno blizu ce je le n zadosti velik med vsemi pravilnimi mnogokotniki ki so vcrtani v dani krog najlazjeskonstruiramo sestkotnik pri naslednji stirih nalogah bomo rabili le svincnik ravnilo sestilo in seveda papir sele nato pa bomo uporabljali program derive naloga danemu krogu vcrtajte pravilni sestkotnik trikotnik in stirikotnik iz pravilnega n kotnika na preprost nacin dobimo pravilni n kotnik razpolovimo lok nad stranico pravil nega n kotnika in naloga danemu krogu vcrtajte pravilni kotnik in pravilni kotnik z oznacimo dolzino stranice pravilnega n kotnika ki je vcrtan v enotski krog radij tega kroga je enak tedaj ima stranica n kotnika dolzino to zvezo bomo dokazali oglejmo si pravokotni trikotnik v polkrogu z eno kateto visina na hipotenuzo je ploscino tega trikotnika izracunajmo enkrat s pomocjo katet drugic pa s hipotenuzo in visino na njo naloga pokazite da velja sedaj pa to zvezo kvadriramo nato vpeljemo novo neznanko naloga pokazite stranica enotskemu krogu vcrtanega kvadrata je enaka in nato priblizek stevila pa je seveda naloga z uporabo programa derive izracunajte priblizke stevila s pomocjo enotskemu krogu vcrtanega pravilnega stirikotnika osemkotnika kotnika v programu derive nastavljajte racunanje na razlicno stevilo mest rezultate med seboj primerjajte in razmisljajte o napakah pri zaokrozevanju naloga izvedite kar zahteva naloga le da zacnete s pravilnim sestkotnikom ce ste imeli tezave pri resevanju zadnjih dveh nalog si oglejte datoteko prib pi mth v tej datoteki so programi s katerimi lahko resimo zgornji nalogi pri branju te datoteke boste tudi odkrili mnoge poti ki vas bodo pripeljale do lastnih resitev prib pi mth datoteka prib pi racunanje priblizkov stevila pi natancnost racunanja precision approximate precisiondigits p v a n je priblizek stevila pi vhodna parametra a n a je stranica pravilnega n kotnika ki je vcrtan ali ocrtan enotski kroznici n stevilo stranic veckotnika p v a n a n s v a je stranica n kotnika vcrtanega enotski kroznici vhodni parameter a a je stranica pravilnega n kotnika vcrtanega enotski kroznici s v a sqrt sqrt a s o a je stranica n kotnika ocrtanega enotski kroznici vhodni parameter a a je stranica pravilnega n kotnika vcrtanega enotski kroznici s o a a sqrt a prib v a m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n stevilo iteracij prib v a m n append ~ iterates ~ ~ ~ n prib o a m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a m n a je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n stevilo iteracij prib o a m n append ~ iterates ~ ~ ~ n racunanje nove vrstice priblizkov novi p x y z n if abs y x n ~ prib pi a b m n vrne tabelico priblizkov stevila pi vhodni parametri a b m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici b je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n dolzina intervala v katerega ujamemo pi prib pi a b m n append ~ iterates novi p x y z n ~ ~ prib pik a b m n vrne priblizka stevila pi vhodni parametri a b m n a je stranica pravilnega m kotnika vcrtanega enotski kroznici b je stranica pravilnega m kotnika ocrtanega enotski kroznici m stevilo stranic veckotnika n dolzina intervala v katerega ujamemo pi prib pik a b m n iterate novi p x y z n ~ ~ sestavljanje funkcij kdaj gimnazijski program letnik vsebina dijaki sestavijo funkcijo glede na zahtevo o zveznosti in limite v dani to~ki cilji utrdijo znanje o zveznosti o limiti s pomo~jo grafa razberejo zveznost in limito v dani to~ki metode dela vodeno delo dijaka za ra~unalnikom samostojno delo dijaka za ra~unalnikom pripomo~ek pri ponavljanju datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta u~ni listi za matematiko s programom derive sestavljanje funkcij tvoja naloga je sestaviti funkcije ki ustrezajo opisanim lastnostim svoje delo bo preveril sam s pomo~jo programa derive na naslednji na~in vnesi funkcijo author e si sestavil sestavljeno funkcijo kot na primer jo vnese v derive kot if x x nari i funkcijo premakni se v okno za risanje plot nari i graf funkcije plot graf si dobro oglej za bolje viden graf si bo moral morda pomagati s tipkama f in f zbri i narisan graf delete all kon~aj z risanjem funkcije algebra premisli ali funkcija ustreza vsem zahtevam kako iz grafa razbere da je funkcija v dolo~eni to~ki zvezna nedefinirana definirana kak na je limitna vrednost e funkcija ne ustreza sestavi novo in jo ponovno nari i preveri vse dane zahteve za funkcijo funkcijsko vrednost manage substitute simplify dobimo to~en rezultat ali approximate rezultat je zaokro`en decimalno tevilo e derive vrne rezultat funkcija v tisti to~ki ni definirana limitno vrednost calculus limit simplify dobimo to~en rezultat ali approximate rezultat je zaokro`en decimalno tevilo e derive vrne rezultat v tisti to~ki limita ne obstaja zveznost funkcija mora biti v to~ki definirana veljati mora naloga sestavi funkcijo ki je v to~ki zvezna v to~ki nedefinirana sestavi funkcijo ki ima v to~ki vrednost v to~ki ni definirana velja sestavi funkcijo ki ima v to~ki vrednost je v to~ki definirana ni zvezna v to~ki sestavi funkcijo ki je zvezna v to~ki velja sestavi funkcijo ki ima ni~lo v to~ki limita v to~ki ne obstaja ni definirana v to~ki sestavi funkcijo ki ima ni~lo v to~ki limita v to~ki ne obstaja je v to~ki definirana sestavi funkcijo ki ima v to~ki vrednost velja nastavljanje sistemov linearnih enacb kdaj gimnazijski program letnik vsebina dijaki nastavijo sistem linearnih ena~b sistem ena~b re ijo s pomo~jo derive preverijo smiselnost rezultatov e je potrebno ponovno nastavijo sistem ena~b cilji utrditev znanja iz nastavljanja sistema linearnih ena~b metode dela samostojno delo dijaka za ra~unalnikom pripomo~ek pri ponavljanju datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta u~ni listi za matematiko s programom derive nastavljanje sistema linearnih ena cb po vzoru naslednje naloge re i e preostale primer vsota dveh tevil je razlika poi ~i tevili razmislimo tevili ozna~imo z x in y vsota x y razlika x y re iti moramo sistem ena~b pomagajmo si s programom derive sistem vnesemo author izra~unamo ga s solve derive izra~una ti dve tevili sta torej in e sistem ena~b ni enoli~no dolo~en nam derive vrne re itev spremenljivka x je poljubna y pa se izra`a z x e sistem nima re itve dobimo v sporo~ilni vrstici obvestilo no solutions found tvoja naloga je temeljito preberi vsako nalogo premisli kaj je znano kaj neznano nastavi sistem ena~b ki re ijo tvoj problem izra~unaj s pomo~jo derive vnos sistema ena~b author v oglatem oklepaju na tejemo ena~be med seboj jih lo~imo z vejico izra~un sistema ena~b solve premisli o pravilnosti re itve e je potrebno popravi nastavljen sistem ena~b naloge trgovec je iz tovarne dobil po ilko v kateri je bilo kozarcev majoneze ve~ kot kozarcev gor~ice potem ko je prodal kozarcev majoneze in ~etrtino kozarcev gor~ice je ugotovil da ima zdaj kozarcev gor~ice ve~ kot majoneze koliko kozarcev majoneze in koliko kozarcev gor~ice je bilo v po iljki uvoznik je za ton pomaran~ in dve toni kivija pla~al milijonov tiso~ lir pri naslednji po iljki so bile pomaran~e dra`je kivi pa cenej i za ton pomaran~ in tone kivija je pla~qal milijonov tiso~ lir koliko je stal kivi pred pocenitvijo prvi bager je delal ure drugi uri skupaj sta izkopala zemlje naslednji dan je prvi bager delal uri in drugi ure izkopala sta koliko zemlje izkoplje vsak bager sam v eni uri e delata miha in janez skupaj opravita delo v urah in minutah po urah skupnega dela se je janez po kodoval miha je nato delal sam e ur in minut da je dokon~al delo koliko ~asa bi za opravljeno delo potreboval vsak sam ulomek je enak ulomku e zmanj amo tevec za in zve~amo imenovalec za je dobljeni ulomek enak ulomku dolo~i prvotni ulomek v razredu je u~encev od katerih se vsak u~i nem ~ine ali franco ~ine nekateri celo obeh jezikov razmerje med tevilom u~encev ki se u~ijo franco ~ine in tevilom u~encev ki se u~ijo nem ~ine je nem ~ine se u~ijo u~enci manj kot franco ~ine koliko u~encev se u~i oba jezika kolesar se odpelje iz kraja a ob uri s hitrostjo km h dve uri kasneje se v isto smer odpelje avtomobilist s hitrostjo km h e kasneje se iz kraja a v isto smer odpelje motorist ki vozi s stalno hitrostjo in prehiti kolesarja ob uri avtomobilista pa ob uri s kolik no hitrostjo vozi motorist kdaj je motorist od el na pot dolo~i trimestno naravno tevilo ~e je vsota njegovih tevk tevilo se zmanj a za ~e mu zamenjamo zadnji dve tevki e tevilu zamenjamo prvi dve tevki se zmanj a za dolo~i tri tevila tako da je vsota prvega in polovice drugih dveh enaka vsota drugega in tretjine preostalih dveh enaka vsota tretjega in ~etrtine preostalih enaka pred tirimi leti je bil o~e tiri krat starej i od sina ez tiri leta bo o~e tri krat starej i od sina koliko sta stara danes zaporedja kdaj gimnazijski program letnik vsebina zaporedja ki konvergirajo h kvadratnemu korenu cilji raziskati ~lene zaporedja ki konvergira h kvadratnemu korenu iz tevila poiskati kvadratni koren na predpisano tevilo decimalnih mest metode dela skupno raziskovanje profesorja in dijaka datoteke opombe datum nastanka jesen avtor razvojna skupina projekta u~ni listi za matematiko s programom derive zaporedja poglejmo si zaporedje dolo~eno s predpisom x x x oziroma zapisano na druga~en na~in x x ¬ x s programom derive izpi imo prvih ~lenov author iterates x x simplify ustrezni ukaz za delo z zaporedji v programu derive je iterates ima tiri argumente prvi je predpis kako dobimo naslednji ~len drugi dolo~a spremenljiko ki jo spreminjamo tretji dolo~a za~etno vrednost ~etrti argument pa pove kolikorat moramo zadevo ponoviti dobimo torej en ~len ve~ kot je zadnji argument ukaza iterates za zgornje zaporedje je o~itno da je divergentno saj ~leni postajajo vedno ve~ji vzemimo sedaj naslednji predpis x x ¬ ' x x prvih est vrednosti ponovitev dobimo z author iterates x x x simplify ker si z rezultati v obliki ulomka ne moremo kaj dosti pomagati poglejmo kak ni so decimalni pribli`ki kot ka`e zaporedje konvergira proti to pa je ravno kvadratni koren tevila izra~unan na decimalnih mest preverimo kako gre v nadaljevanju tudi in ~len imata enako vrednost ogledamo si jih lahko s ctrl ® ra~unajmo e natan~neje z options precision tab pove~amo natan~nost na mest izra~unajmo zadnji pribli`ek e enkrat approx rezultati so sedaj izra~unajmo e koren tevila author sqrt approx izra~unani rezultat se ujema z zadnjimi ~leni iteracije torej s tem postopkom lahko dokaj hitro izra~unamo Ö znati moramo le deliti in se tevati tevila kaj pa kvadratni koren iz drugih tevil poskusimo e z x x ¬ ' x x dobljeni rezultati so res Ö kar e preverimo e nas zanima le zadnji ~len v zaporedju si lahko pomagamo z obliko iterate ki nam vrne le zadnji ~len iterates vrne torej vse ~lene zaporedja iterate pa le zadnjega author iterate x x x approx z zaporedjem x x ¬ ' x x ni ve~jih problemov od petega ~lena dalje so vsi ~leni enaki kar je Ö sedaj poskusimo odgovoriti na naslednja vpra anja kak na bo formula za kvadratni koren iz kak na bo formula za kvadratni koren iz n kjer je n naravno tevilo preizkusi svojo formulo za n ali ve kako bi pohitril postopek preizkusi iteracijo za n x h kak ni vrednosti konvergira preizkusi iteracijo za n in za~etno vrednost ki le`i na intervalu h kak ni vrednosti konvergira