vec kot nobena a manj kot tisoc in ena resena naloga iz linearne algebre predgovor jedro te zbirke tvori priblizno dvesto nalog s kolokvijev in pisnih izpitov pri predmetu algebra i na pedagoski fakulteti univerze v ljubljani in pri predmetu linearna algebra na tehniski fakulteti univerze v mariboru sestavila sva jih v obdobju ko sva vodila vaje iz tega predmeta b z od leta z enoletnim premorom m k od leta jeseni leta sva se odlocila zbrane naloge nekoliko urediti in izdati kot gradivo studentom za urjenje v zelji napisati knjizico po kateri bi rad posegal tudi kdor sprva ne zmore ali meni da ne zmore vseh korakov pri resevanju zastavljenih nalog in potrebuje vec kot koncne rezultate in nekaj najnujnejsih nasvetov ali namigov sva se lotila pisanja resitev s spremljajocimi razlagami in utemeljitvami mnoge naloge sva resila na vec nacinov nikakor nisva izcrpala vseh in s tem skusala po eni strani poudariti legitimnost razlicnih pogledov na isto snov in omogociti primerjavo le teh po drugi pa opozoriti na vezi med morebiti navidez locenimi podrocji in prijemi pri tem so sproti nastajale nove ali raje dodatne naloge namenjene krepitvi posameznih konceptov in zloznejsemu prehodu med razlicno zahtevnimi problemi resitve sva pisala v drugi osebi ednine bralka in bralec naj nama ne zamerita tega pokroviteljskega tikanja katerega edini namen je spodbuditi ju k sodelovanju seveda jima priporocava da pri samostojnem resevanju uporabljata stilno manj zaznamovano prvo osebo mnozine prebereta naj tudi opombe k resitvam te lahko vsebujejo dodatne v tej knjizici neresene a resljive naloge variacije na temo posplositve opozarjajo na uporabljene izreke in zvijace kazejo na morebitne krajsnice in pasti ali kratko poudarjajo kar si je vredno zapomniti vecino resitev sva opremila tudi s kazalom sorodnih nalog manj pozornosti zasluzi stopnja zahtevnosti naloge oznacila sva jo z enim dvema ali tremi diamanti osnovna za resevanje zadosca razumevanje temeljnih pojmov visja koristna sta racunska spretnost in smisel za pobudo visoka potrebna sta globlji uvid v snov in raziskovalna vnema izbrana razvrstitev je dvakrat relativna saj velja znotraj posameznega razdelka in je rezultat najine presoje podrocja ki sva jih zajela so stalnica v vecini uvodov v linearno algebro definicij in izrekov nisva posebej zapisala vtkane so v nalogah in resitvah omeniva le usmerjeno daljico krajevni vektor vektor in urejeno trojico realnih stevil ki so brez dvoma razlicne reci a jih vendarle v razdelku geometrija kratko poimenujeva vektor take vektorje opremiva kot je obicaj s puscico naprimer prav tako dodava puscico vektorjem v r kjer zeliva poudariti geometrijsko vsebino in se namesto pogosto piseva krajse problematiko definicije pojmov linearno odvisna mnozica in linearna kombinacija kar s primerom mnozica a a a je za neniceln vektor a prav gotovo linearno neodvisna saj je a a ceprav velja · a · a zdi se da ni mnozica tista struktura ki jo potrebujemo pri definiciji linearne odvisnosti temvec mnozica s ponavljanjem mnogovka struktura zaporedja je sicer vec kot primerna toda urejenost zakriva bistvo linearne odvisnosti vec o linearni kombinaciji pa v nalogi kljub omenjenim pomislekom nisva zapisala nove definicije raje sva se z obsirnejso razlago previdno izognila prevec formalisticnemu pristopu polinome ki jih potihem obravnavava na dva nacina vecinoma kot algebrske objekte skoraj povsod nicelna zaporedja skalarjev s primernimi operacijami ponekod pa tudi kot preslikave slednje je smiselno za polinome nad neskoncnim poljem polinomom nisva posvetila posebnega razdelka saj njihova temeljita algebrska vpeljava sega v teorijo kolobarjev prirejanje matrike linearni preslikavi ki je eden od pomembnejsih prijemov v linearni algebri v ta namen je potrebno urediti bazi glede na kateri prirejamo matriko ceprav urejeno bazo zapiseva na obicajen nacin kot mnozico in ne kot zaporedje skusava dosledno poudarjati naravo tega koncepta s pisanjem urejena baza za matriko ki pripada linearni preslikavi glede na urejeni bazi prostora u ter prostora v uporabljava langovo oznako podobno oznacujeva stolpec ki pripada vektorju u u glede na urejeno bazo meniva da je ta zapis strnjen nazoren in berljiv zahvala gre vsem nosilcem predmetov algebra i in linearna algebra pri katerih sva doslej vodila vaje doc dr gorazdu lesnjaku prof dr draganu marusicu prof dr petru petku prof dr dusanu repovsu in prof dr antonu suhadolcu recenzentoma za skrben pregled rokopisa in stevilne izboljsave prof dr marku razpetu za nasvete in pomoc pri racunalniskem stavljenju asist marjanu jermanu in asist mag aleksandru malnicu za koristne pripombe ter pedagoski fakulteti za koncno izvedbo s posebnim zadovoljstvom se zahvaljujeva se vsem ki so naju podprli pri izpeljavi tega projekta v ljubljani septembra matej kolar in boris zgrablic kolofon zacetek naprej zadnja osvezitev torek oktober © vse pravice pridrzane veckotnobena pef uni lj si