Benefícios da GD

A discussão sobre vantagens/desvantagens pedagógicas entre as duas formas de se ``fazer'' geometria pode ser conduzida sob diferentes pontos de vista. Neste trabalho, abordaremos apenas a interatividade e visualização como mecanismos facilitadores da aprendizagem na GD.

O uso da GD no ensino da Geometria traz boas possibilidades de mudança em uma área que vem sendo negligenciada no ensino. Segundo () e (), o ensino da Geometria recebe pouca atenção, tanto no ensino fundamental e médio, quanto no ensino superior. Além disso, frenqüentemente a geometria é ensinada de forma mecânica, sem a preocupação em destacar os conceitos envolvidos (, ).

De um lado, notamos problemas na forma tradicional de se ensinar Geometria. Como nota Gravina:

``Os livros escolares iniciam o ensino de Geometria com definições, nem sempre claras, acompanhadas de desenhos bem particulares, os ditos desenhos prototípicos. Por exemplo, quadrados com lados paralelos às bordas da folha de papel, retângulos sempre com dois lados diferentes, altura em triângulos sempre acutângulos, entre outros. Isto leva os alunos a não reconhecerem desenhos destes mesmos objetos quando em outra situação. E mais, os alunos passam a acreditar que a posição relativa do desenho ou seu traçado particular façam parte das características do objeto, o que os leva a estabelecer desequilíbrios na formação dos conceitos. O aspecto de construção de objetos geométricos raramente é abordado. Dificilmente encontramos no livro escolar a instrução "construa", e no entanto, esta é uma das atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos.''

(, )

Por outro lado, temos o potencial interativo e aberto de um programa de GD que, segundo (), podem ser comparados a laboratórios virtuais nos quais os estudantes podem manipular, investigar e aprender matemática. Como observa (), discutindo o aprendizado de geometria através dos programas de GD:

``A contribuição dos programas de Geometria Dinâmica segue em dois ramos. Primeiro, provêem um ambiente no qual estudantes podem experimentar livremente. Dessa forma, eles podem facilmente verificar suas intuições e conjecturas durante o processo de procura de padrões, propriedades, etc. Segundo, estes programas provêem formas não tradicionais para os estudantes aprenderem e entenderem os métodos e conceitos matemáticos ... permitindo construir figuras complexas e facilmente realizar, em tempo real, uma quantidade enorme de transformações nestas figuras, proporcionando ao estudante o acesso a uma grande variedade de exemplos que dificilmente seriam possíveis em ambientes não computacionais ou em ambientes computacionais estáticos.''

(, )

Do ponto de vista do aprendizado, também podemos notar vantagens da GD sobre a geometria estática. Usando o modelo de aprendizado de Geometria proposto pelos van Hiele (, )², que classificam os níveis cognitivos de aprendizado de Geometria em cinco (visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor), notamos que a Geometria Dinâmica pode ser bem empregada nos três primeiros níveis. Nestes níveis iniciais, o estudante está começando a abstrair os conceitos matemáticos e, deste modo, a experimentação pode contribuir muito.

No ensino tradicional, o aluno apenas ``ouve'', não sendo incentivado a ter uma postura investigativa (ativa) e nem sendo desafiado a construir seu próprio conhecimento. Em uma aula de Geometria tradicional o professor enuncia conceitos, definições e propriedades que, muitas vezes, são apenas memorizados e futuramente reproduzidos pelo aluno sem sua devida compreensão.

Segundo () e (), a GD proporciona uma nova abordagem ao aprendizado geométrico, onde conjecturas são feitas a partir da experimentação e criação de objetos geométricos. Deste modo, podemos introduzir o conceito matemático dos objetos a partir da resposta gráfica oferecida pelo programa de GD, surgindo naturalmente daí o processo de argumentação e dedução.

Para (), destacam-se como principais benefícios e aplicações de um sistema computacional de Geometria Dinâmica: a prova de teoremas, a precisão e visualização, as explorações e descobertas, as transformações e lugares geométricos e, por fim, a simulação de micromundos. Vale a pena destacar os principais argumentos dos autores em relação a cada uma delas:

• Prova de teoremas. Embora a Geometria Dinâmica não possa provar teoremas, a capacidade de experimentação de hipóteses pode motivar a busca pela prova de um teorema, pois induz à convicção de sua validade. Da mesma forma, pode ajudar e sugerir caminhos para a prova formal.

• Precisão e visualização. A construção da geometria é feita pelo estabelecimento de relações geométricas entre os elementos (perpendicularismo, paralelismo, pertinência, ângulo, etc). Pode-se medir ângulos e distâncias e calcular relações com precisão, permitindo facilmente a verificação empírica de hipóteses e teoremas. Os conceitos de um teorema podem ser compreendidos por visualização. Adicionalmente, a precisão também é importante porque construções imprecisas podem conduzir o aluno a conclusões errôneas.

• Exploração e descoberta. A manipulação de construções permite que se explore a Geometria e que ``novas'' relações e propriedades sejam descobertas. Muitas vezes, os próprios alunos ``redescobrem'' teoremas em sala de aula.

• Transformações e lugares geométricos. Pela sua capacidade de realizar transformações em figuras geométricas, programas de Geometria Dinâmica são ideais para o estudo de isometrias, similaridades e outras funções. Animando figuras e traçando lugares geométricos de pontos pré-definidos, estes aplicativos também podem explicitar problemas e propriedades normalmente não abordadas na literatura por sua inerente dificuldade.

• Simulação e micromundos. Indo muito além da abstração da Geometria, as simulações que podem ser construídas com programas de Geometria Dinâmica permitem ilustrar conceitos de cinemática e óptica, entre outros. Por outro lado, oferecem também a possibilidade de criação de micromundos geométricos, a exemplo daqueles concebidos no âmbito da linguagem Logo (, ), que propõe ao aluno um campo de experimentação onde ele constrói o conhecimento através da manipulação dos objetos (, ). Neles, o aluno pode vivenciar experiências geométricas, algumas pré-concebidas pelo professor e muitas outras descobertas ao acaso, através da exploração interativa e de sua criatividade.

Vale observar que o comentário de () sobre ``prova de teoremas'' na GD, pode começar a ser explorado com alunos que estejam no segundo nível de compreensão, proposto por van Hiele, a análise. Quando o aluno está neste nível, começa a analisar os conceitos geométricos envolvidos, por exemplo, podendo usar a experimentação para discernir características dos objetos (um exemplo simples de experimentação no segundo nível é o aluno perceber que um quadrado também é um retângulo, por conter todas as propriedades exigidas deste último, ou perceber quando um retângulo torna-se um quadrado).

Ainda sobre a ``prova de teoremas'', podemos acrescentar outra razão para o uso da GD: os contra-exemplos. Com a GD o aluno pode mais facilmente encontrar uma configuração que sirva de contra-exemplo a uma conjectura em estudo. Esta observação também pode servir como resposta a uma das críticas mais comuns contra a GD: a visualização dispensaria, ou desestimularia, a necessidade de prova matemática. Esta crítica pode ser encontrada, por exemplo, em ().

Em resumo, como a GD possibilita visualizar uma mesma construção de diversas formas, e assim facilitar a compreensão do comportamento geométrico dos elementos envolvidos, podemos utilizar um programa de GD para revelar relações geométricas intrínsecas que poderiam passar desapercebidas numa representação estática (, ). Com isso, o professor pode incentivar o espírito investigativo do aluno, solicitando ao final uma justificativa para as relações encontradas, ou seja, a prova matemática.